Ứng dụng tích phân: Vận tốc, quãng đường khi ô tô giảm tốc (KSCL Hà Nội 2026)

Giải chi tiết bài toán vận tốc và quãng đường trong đề khảo sát Toán 12 Hà Nội 2026, ô tô giảm tốc trước trạm thu phí, ứng dụng tích phân trong vật lí

Vận tốc – quãng đường của ô tô khi giảm tốc trước trạm thu phí

Đề bài

Đề khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT – Sở GD-ĐT Hà Nội, 3/2026

Một người đang điều khiển ô tô chạy trên đường cao tốc. Khi cách trạm thu phí $1000$ m, tốc độ của ô tô là $90$ km/h.

Sau đó $20$ giây, người điều khiển ô tô bắt đầu giảm tốc với vận tốc

\[ v(t)=at+b \quad (m/s) \]

trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc và \(v(t)>0\) với mọi

\[ t\in[0;30]. \]

Sau $30$ giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc, ô tô đến trạm thu phí.

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Quãng đường từ vị trí ô tô bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí là $500$ m.

b) Giá trị của \(b\) là $90.$

c) Giá trị của \(a\) là \( -\dfrac{5}{9}. \)

d) Tốc độ tối đa cho phép của phương tiện khi qua trạm thu phí là $30$ km/h. Người điều khiển ô tô đã tuân thủ đúng tốc độ quy định khi đi qua trạm thu phí.

Lời giải

a) Quãng đường trước khi bắt đầu giảm tốc

Đổi đơn vị vận tốc:

\[ 90\,km/h=25\,m/s \]

Trong $20$ giây đầu, ô tô đi được

\[ s=vt=25\times20=500\,m \]

Ban đầu cách trạm thu phí $1000$ m nên khi bắt đầu giảm tốc còn

\[ 1000-500=500\,m \]

Vì vậy quãng đường từ lúc bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí là $500$ m.

Mệnh đề a đúng.

b) Xác định hệ số \(b\)

Tại thời điểm bắt đầu giảm tốc

\[ t=0 \]

nên

\[ v(0)=b \]

Mà vận tốc lúc đó bằng

\[ 25\,m/s \]

suy ra

\[ b=25 \]

Do đó mệnh đề \(b=90\) là sai.

Mệnh đề b sai.

c) Tìm hệ số \(a\)

Quãng đường từ lúc bắt đầu giảm tốc đến trạm thu phí được tính bằng tích phân

\[ s=\int_0^{30}(at+b)\,dt \]

\[ s=\left(\frac{a}{2}t^2+bt\right)\Big|_0^{30} \]

\[ s=450a+30b \]

Theo câu a)

\[ 450a+30b=500 \]

Thay \(b=25\)

\[ 450a+750=500 \]

\[ 450a=-250 \]

\[ a=-\frac{5}{9} \]

Mệnh đề c đúng.

d) Vận tốc khi đến trạm thu phí

Vận tốc tại thời điểm \(t=30\) là

\[ v(30)=30a+b \]

\[ v(30)=30\left(-\frac{5}{9}\right)+25 \]

\[ v(30)=\frac{25}{3}\,m/s \]

Đổi sang km/h

\[ \frac{25}{3}\times3.6=30\,km/h \]

Vì tốc độ tối đa cho phép là $30$ km/h nên người lái xe đã tuân thủ đúng quy định.

Mệnh đề d đúng.

Kết luận

Tổng hợp kết quả đúng/sai từ lời giải.

• a) Đúng
• b) Sai
• c) Đúng
• d) Đúng

Đây là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong các bài toán chuyển động trong Vật lí.