Xác suất chọn số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức kép

Giải chi tiết bài toán xác suất chọn số tự nhiên 5 chữ số thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức – đề thi thử Toán Sở GD Thanh Hoá 2026 lần 1.

Xác suất chọn số tự nhiên 5 chữ số thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức

Bài toán xác suất này thuộc dạng đếm số cấu hình chữ số thỏa mãn bất đẳng thức, thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 hoặc đề thi thử tốt nghiệp THPT. Điểm mấu chốt là khai thác giới hạn của chữ số (0–9) để giảm mạnh số trường hợp cần xét.

Đề bài toán

[Đề thi thử tốt nghiệp lần 1 năm 2026 Sở GD-ĐT tỉnh Thanh Hoá]

Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\). Tính xác suất để số đó thỏa mãn:

\[ a_1 \le a_2+1 \le a_3-7 < a_4 \le a_5+2 \]

Gọi xác suất đó là \(a\). Tính \( \dfrac{1}{a} \) (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

1. Không gian mẫu

Số tự nhiên có 5 chữ số:

\[ 9 \cdot 10^4 = 90000 \]

2. Rút gọn điều kiện

Từ điều kiện:

\[ a_2+1 \le a_3-7 \Rightarrow a_3 \ge a_2+8 \]

Do chữ số chỉ từ 0 đến 9 nên suy ra các khả năng:

\[ (a_2,a_3) = (0,8), (0,9), (1,9) \]

3. Xét từng trường hợp

TH1: \((a_2,a_3)=(0,8)\)

\[ a_4 \ge 2,\quad a_5 \ge a_4-2 \] \[ \sum_{a_4=2}^{9}(12-a_4)=52 \]

Vì \(a_1 \le 1\) nên \(a_1=1\).

⇒ Có 52 số.

TH2: \((a_2,a_3)=(0,9)\)

\[ a_4 \ge 3 \Rightarrow \sum_{a_4=3}^{9}(12-a_4)=42 \]

⇒ Có 42 số.

TH3: \((a_2,a_3)=(1,9)\)

\[ a_4 \ge 3 \Rightarrow 42 \text{ cách} \]

\(a_1 \le 2 \Rightarrow a_1=1,2\)

⇒ Có \(42 \times 2 = 84\) số.

4. Tổng hợp

\[ 52 + 42 + 84 = 178 \]

Xác suất:

\[ a = \frac{178}{90000} \]

5. Tính giá trị yêu cầu

\[ \frac{1}{a} = \frac{90000}{178} \approx 505.62 \]

Đáp số và Nhận xét

Đáp số

\( \boxed{\mathbf{506}} \)

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán là nhận ra điều kiện \(a_3 \ge a_2+8\) làm số trường hợp rất ít. Đây là kỹ thuật quan trọng trong các bài xác suất dạng chữ số: khai thác biên để giảm không gian xét.