Bài toán khoảng cách giữa hai con kiến trong căn phòng hình hộp chữ nhật

Tính khoảng cách giữa hai con kiến đang di chuyển trong căn phòng hình hộp chữ nhật khi một con còn cách tổ 1m bằng cách đưa vào hệ trục toạ độ Oxyz.

Bài toán thực tế không gian: Tính khoảng cách giữa hai con kiến trong căn phòng hình hộp chữ nhật

Các bài toán thực tế trong hình học không gian thường gắn với chuyển động và tọa độ. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết bài toán tính khoảng cách giữa hai con kiến đang di chuyển trong một căn phòng hình hộp chữ nhật.

Đề bài toán

[Bài toán thực tế về hình học không gian - Đề thi thử Sở Đồng Nai 2026]

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với:

• $AB = 3$ m,
• $BB' = BC = 4$ m.

Tại điểm $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A'$ bò về tổ với vận tốc $0,02$ m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A'B$, $BC$.

Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06$ m/s trên hai đoạn thẳng liên tiếp $DC'$, $C'C$.

Biết rằng hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ $1$ m thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

1. Tính thời gian kiến 2 di chuyển đến vị trí còn cách tổ 1 m

Gọi $M$ là vị trí của kiến 2 khi còn cách tổ $1$ m.

Khi đó quãng đường kiến 2 đã đi là:

$$ DC' + C'M = 8 \text{ (m)}. $$

Vì vận tốc của kiến 2 là $0,06$ m/s nên thời gian kiến 2 đi đến $M$ là:

$$ t=\frac{8}{0,06}=\frac{400}{3}\text{ (s)}. $$

2. Tính vị trí của kiến 1 sau cùng khoảng thời gian đó

Do hai con kiến xuất phát cùng lúc nên trong thời gian trên, kiến 1 đi được quãng đường:

$$ A'N=t\cdot0,02=\frac{400}{3}\cdot0,02=\frac{8}{3}\text{ (m)}. $$

Gọi $N$ là vị trí của kiến 1 tại thời điểm đó.

3. Thiết lập hệ trục tọa độ trong không gian

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với:

• gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $B$;
• $Ox \equiv BA$;
• $Oy \equiv BC$;
• $Oz \equiv BB'$.

Khi đó:

• $B(0;0;0)$,
• $A(3;0;0)$,
• $C(0;4;0)$,
• $B'(0;0;4)$.

Vị trí của kiến 2 là:

$$ M(0;4;1). $$

Vị trí của kiến 1 là:

$$ N\left(\frac{21}{15};0;\frac{28}{15}\right). $$

4. Tính khoảng cách giữa hai con kiến

Theo công thức khoảng cách trong không gian:

$$ MN=\sqrt{\left(\frac{21}{15}\right)^2+4^2+\left(\frac{28}{15}-1\right)^2}. $$

Tính được:

$$ MN\approx 4,33\text{ m}. $$

5. Kết luận

Khi kiến 2 còn cách tổ $1$ m thì khoảng cách giữa hai con kiến là $\boxed{\mathbf{4,33}}$ m.

Nhận xét

Bài toán kết hợp khéo léo giữa chuyển động đều và hình học tọa độ không gian. Việc chọn hệ trục phù hợp giúp việc xác định vị trí hai con kiến trở nên đơn giản và trực quan hơn.