Bài toán quả bóng nảy: tính độ cao sau 5 lần chạm đất và tổng quãng đường chuyển động đến khi dừng hẳn

Bài toán quả bóng nảy (cấp số nhân lùi vô hạn): tính độ cao sau 5 lần chạm đất và tổng quãng đường chuyển động đến khi dừng hẳn. Lời giải chi tiết.

Bài toán quả bóng nảy – Ứng dụng cấp số nhân lùi vô hạn

Đề bài toán

[Đề ĐGNL ĐHQG-HCM 2026 đợt 1]

Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao \(10m\) theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng một đoạn bằng \(\dfrac{3}{4}\) độ cao trước đó.

Câu a

Sau $5$ lần chạm đất độ cao cực đại của quả bóng là:

A. $3,16$.

B. $1,78$.

C. $2,37$.

D. $3,25$.

Câu b

Tổng quãng đường quả bóng đi được đến khi dừng hẳn:

A. $40$.

B. $70$.

C. $50$.

D. $80$.

Lời giải

Lời giải a

Độ cao (m) sau mỗi lần nảy tạo thành một cấp số nhân với:

Số hạng đầu $h_1 = 10$.

Công bội $q = \dfrac{3}{4}$.

Sau $5$ lần chạm đất, độ cao cực đại là:

$$h_6 = 10\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \approx 2,37.$$

Chọn C.

Lời giải b

Quãng đường (m) gồm:

Lần rơi đầu tiên: $u_0=10$.

Các lần nảy lên và rơi xuống tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với:

$$u_1 = 10\cdot\dfrac{3}{4} = 7,5,\ q = \dfrac{3}{4}.$$

Tổng quãng đường:

$$S = 10 + 2\cdot\left(\dfrac{7,5}{1 - \frac{3}{4}}\right)$$

$$= 10 + 2\cdot 30 = 70.$$

Chọn B.