Hướng dẫn tính thể tích vật thể tròn xoay dạng nón cối bằng tích phân, có lời giải chi tiết và dễ hiểu cho học sinh lớp 12 và cách phương pháp vỏ trụ.
Thể tích vật trang trí hình dạng "nón cối" - Đề thi thử Sở Cao Bằng
Đề bài
Một vật thể trang trí được tạo thành khi quay miền phẳng $(R)$ (phần gạch chéo) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cung tròn bán kính $2$ cm như hình vẽ.
Tính thể tích của vật thể (làm tròn đến hàng phần mười).
Nguồn: Đề Sở Cao Bằng 2026
Lời giải chi tiết (Cách 1 - Lớp 12)
Bước 1. Đặt hệ trục tọa độ
Chọn $A(0,0)$, $B(0,4)$, trục quay là $x=0$.
Miền $(R)$ chia làm hai phần:
- Phần trên: cung tròn tâm $N(0,2)$, bán kính $2$: \[ x = -\sqrt{4-(y-2)^2}, \quad 2\le y\le 4. \]
- Phần dưới: cung tròn tâm $M(-2,0)$, bán kính $2$: \[ x = -2-\sqrt{4-y^2}, \quad 0\le y\le 2. \]
Bước 2. Tính thể tích từng phần
Phần trên (phần mũ):
\[
V_1 = \pi \int_{2}^{4} x^2\,dy=\pi \int_{2}^{4} \Big(\sqrt{4-(y-2)^2}\Big)^2\,dy
\]
Phần dưới (vành đế):
\[
V_2 = \pi \int_{0}^{2} x^2\,dy=\pi \int_{0}^{2} \Big(2+\sqrt{4-y^2}\Big)^2\,dy
\]
Bước 3. Tính thể tích từng phần
Thể tích phần trên
\[
V_1 = \pi \int_{2}^{4} (4-(y-2)^2)\,dy
= \frac{16\pi}{3}
\]
Thể tích phần dưới
\[ V_2 = \pi \int_{0}^{2} (2+\sqrt{4-y^2})^2\,dy \] Khai triển:\[
(2+\sqrt{4-y^2})^2 = 4 + 4\sqrt{4-y^2} + (4-y^2)
= 8 - y^2 + 4\sqrt{4-y^2}
\]
Do đó:
\[
V_2 = \pi \int_{0}^{2} (8 - y^2)\,dy + 4\pi \int_{0}^{2} \sqrt{4-y^2}\,dy
\]
Tính từng phần nhỏ:
\[
\int_{0}^{2} (8 - y^2)\,dy = 16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}
\]
\[
\int_{0}^{2} \sqrt{4-y^2}\,dy = \text{(diện tích } \tfrac{1}{4}\text{ hình tròn bán kính 2)} = \pi
\]
Suy ra:
\[
V_2 = \pi \cdot \frac{40}{3} + 4\pi^2
\]
Bước 4. Tổng thể tích
\[
V = V_1 + V_2
= \frac{16\pi}{3} + \left(\frac{40\pi}{3} + 4\pi^2\right)
= \frac{56\pi}{3} + 4\pi^2
\]
Giá trị gần đúng:
\[
V \approx 98{,}1\ \text{cm}^3
\]
Đáp số
\[
\boxed{98{,}1\ \text{cm}^3}
\]
Cách giải 2: Phương pháp vỏ trụ
Bước 1. Đặt hệ trục tọa độ
Chọn $A(0,0)$, $B(0,4)$, trục quay là $x=0$.
Miền $(R)$ chia làm hai phần:
- $x \in [-4,-2]$: cung tròn tâm $(-2,0)$, bán kính $2$: \[ y = \sqrt{4-(x+2)^2} \]
- $x \in [-2,0]$: cung tròn tâm $(0,2)$, bán kính $2$: \[ y = 2 + \sqrt{4-x^2} \]
Bước 2. Công thức thể tích (phương pháp vỏ trụ)
Thể tích:
\[
V = 2\pi \int_{-4}^{0} (-x)\,y(x)\,dx
\]
Chia thành hai phần:
\[
V = V_1 + V_2
\]
Bước 3. Tính từng phần
Phần 1:
\[
V_1 = 2\pi \int_{-4}^{-2} (-x)\sqrt{4-(x+2)^2}\,dx
= 4\pi^2 + \frac{16\pi}{3}
\]
Phần 2:
\[
V_2 = 2\pi \int_{-2}^{0} (-x)(2+\sqrt{4-x^2})\,dx
= \frac{40\pi}{3}
\]
Bước 4. Kết quả
\[
V = 4\pi^2 + \frac{56\pi}{3}
\]
Giá trị gần đúng:
\[
V \approx 98{,}1\ \text{cm}^3
\]
Đáp số:
\[
\boxed{98{,}1\ \text{cm}^3}
\]
