Bài toán tìm độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có hình dạng parabol

Xác định độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm cách nhau 400m, chiều cao cực đại 8m. Tìm hệ số góc tt.

Bài toán thực tế: Tìm độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có dạng parabol

Các bài toán ứng dụng hàm số vào thực tế luôn giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm trong đời sống. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết bài toán xác định độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol.

---

Đề bài

[Bài toán thực tế đề thi thử tốt nghiệp lần 1 năm 2026 - Sở GD-ĐT Đồng Nai]

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A, B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB = 400$ m. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8$ m.

Xét tiếp tuyến tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan(\Delta,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A, B$. Hỏi độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

1. Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

• $O$ là trung điểm của đoạn $AB$;
• trục $Ox$ trùng với đường thẳng $AB$;
• trục $Oy$ đi qua đỉnh của parabol.

Khi đó:

• $A(-200;0)$, $B(200;0)$ vì $AB = 400$ m;
• đỉnh parabol là $(0;8)$.

Phương trình parabol có dạng:

$$ y = ax^2 + 8 \quad (a<0). $$

2. Xác định phương trình parabol

Vì điểm $B(200;0)$ thuộc parabol nên:

$$ 0 = a\cdot 200^2 + 8. $$

Suy ra:

$$ a = -\frac{8}{200^2}. $$

Vậy phương trình mặt cắt của cây cầu là:

$$ y = -\frac{8}{200^2}x^2 + 8. $$

3. Tính độ dốc tại một điểm bất kỳ

Đạo hàm của hàm số là:

$$ y' = -\frac{16}{200^2}x. $$

Gọi $M(x_0;y_0)$ là một điểm bất kỳ trên mặt cầu. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là:

$$ k = y'(x_0) = -\frac{16}{200^2}x_0. $$

Độ dốc tại điểm $M$ được xác định bởi:

$$ \tan(\Delta,d)=|k|=\left|y'(x_0)\right|=\frac{16}{200^2}|x_0|. $$

4. Tìm độ dốc lớn nhất

Vì điểm $M$ nằm trên mặt cầu nên hoành độ thỏa mãn:

$$ |x_0| \le 200. $$

Suy ra:

$$ \tan(\Delta,d)\le \frac{16}{200^2}\cdot 200=\frac{16}{200}=\frac{8}{100}=0,08. $$

5. Kết luận

Độ dốc lớn nhất của mặt cầu vượt là $\boxed{\mathbf{0,08}}$.

Nhận xét

Bài toán cho thấy đạo hàm không chỉ dùng để khảo sát hàm số mà còn có ý nghĩa thực tiễn rất rõ ràng: hệ số góc tiếp tuyến biểu diễn độ dốc tức thời của mặt đường tại từng vị trí.