Giải bài toán Viète bất đối xứng lớp 9: không cần giải phương trình vẫn tính nhanh giá trị biểu thức chứa căn và nghiệm, trình bày chi tiết dễ hiểu.
Bài toán tính giá trị biểu thức bất đối xứng với hai nghiệm nhờ hệ thức Viète
Đề bài toán (Viète)
[Đề thi thử vào lớp 10 năm học 2026-2027, phường Thành Vinh]
Cho phương trình
\[
x^2 + 3x + 1 = 0
\]
có hai nghiệm \(x_1, x_2\) (\(x_1 > x_2\)). Không giải phương trình, hãy tính:
\[
M = \frac{\sqrt{-21x_1 - 8} + x_2^2 + 2}{x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2}.
\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[
\Delta = 3^2 - 4\cdot1\cdot1 = 5 > 0
\]
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viète:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -3 \\
x_1x_2 = 1
\end{cases}
\]
Bước 1: Tính mẫu số
\[ x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 8x_1x_2 = (-3)^2 - 8\cdot1 = 1 \]
Bước 2: Tính \(\sqrt{-21x_1 - 8}\)
Vì \(x_1 > x_2\), ta có:\[ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \]
Biểu diễn: \[ x_1 = \frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_1 - x_2}{2} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \] Suy ra:\[ -21x_1 - 8 = -21\cdot \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} - 8 = \frac{63 - 21\sqrt{5}}{2} - 8 = \frac{47 - 21\sqrt{5}}{2} \]
Nhận thấy: \[ 47 - 21\sqrt{5} = \frac{(7 - 3\sqrt{5})^2}{2} \] Suy ra: \[ \sqrt{-21x_1 - 8} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \]Bước 3: Tính \(x_2^2 + 2\) (hạ bậc nghiệm)
Vì \(x_2\) là nghiệm của phương trình nên: \[ x_2^2 + 3x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x_2^2 = -3x_2 - 1 \] Suy ra: \[ x_2^2 + 2 = -3x_2 + 1 \] Ta biến đổi \(x_2\) theo Viète:\[ x_2 = \frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_1 - x_2}{2} = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \]
Do đó:\[ -3x_2 + 1 = -3\cdot \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{11 + 3\sqrt{5}}{2} \]
Bước 4: Tính \(M\)
Tử số:\[ \sqrt{-21x_1 - 8} + x_2^2 + 2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} + \frac{11 + 3\sqrt{5}}{2} = 9 \]
Do mẫu số bằng $1$ nên:\[ \boxed{M = 9}. \]
Nhận xét
Cách giải trên (đáp án chính thức của người ra đề) dù không dùng $\Delta$ để giải nghiệm, nhưng cách tính toán $x_1,\ x_2$ thông qua tổng hiệu cũng đã vô tình "lộ nghiệm" (dù không viết ra như trong ảnh dưới).
