Các dạng toán hệ thức Vi-ét không đối xứng trong đề thi tuyển sinh lớp 10

Tổng hợp các dạng bài tập hệ thức Vi-ét không đối xứng từ đề thi tuyển sinh lớp 10 các tỉnh thành. Sử dụng kỹ thuật hạ bậc và pp thế để giải bài toán.

Bài toán hệ thức Vi-ét không đối xứng trong đề thi vào lớp 10

Dạng toán hệ thức Vi-ét không đối xứng thường được xem là "chướng ngại vật" phân loại thí sinh trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Thay vì các biểu thức đối xứng quen thuộc, yêu cầu của đề bài đòi hỏi học sinh phải linh hoạt vận dụng kỹ thuật hạ bậc hoặc phương pháp thế dựa trên phương trình gốc. Bài viết dưới đây tổng hợp các câu hỏi từ đề thi các tỉnh thành giúp các em rèn luyện tư duy và làm chủ dạng toán này.

Câu 1. (TS lớp 10-Bình Phước 25-26)

Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(P = x_1^3 + 3x_2^2 + 2x_1 + 2011\).

Câu 2. (TS lớp 10-Huế 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - 3x + 1 = 0\).
a) Tính giá trị của \(\Delta\), từ đó suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{2}{x_1-1} + \frac{x_2}{x_2-1}\).

Câu 3. (TS lớp 10-Hà Nội 25-26)

Biết phương trình bậc hai \(x^2 + 8x - 6 = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), tìm tất cả giá trị của \(m\) thỏa mãn \(\frac{70 - mx_2^2}{x_2} = x_1 + mx_2\).

Câu 4. (TS lớp 10-Khánh Hòa 25-26)

Cho phương trình bậc hai \(x^2 - 3x - 5 = 0\). Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức \(B = x_1^2 + x_2^2\) và \(C = x_1^2 + x_2(x_1 + 3) - 4,8\).

Câu 5. (TS lớp 10-Trà Vinh 25-26)

Cho phương trình \(2x^2 + 4x - 1 = 0\).
a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình trên. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{x_2}{x_1} - \frac{2}{x_2}\).

Câu 6. (TS lớp 10-Hà Nam 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - 7x + 2 = 0\).
a) Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\).
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức: \(T = \sqrt{x_1^2 + 2x_1 + 1} + \sqrt{2x_2^2 - x_2 + 11}\).

Câu 7. (TS lớp 10-Hải Dương 25-26)

Cho phương trình \(2x^2 - 10x + 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) với \(x_1 > x_2\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{\sqrt{24x_1 - 9} + 2x_2 + 233}{25 - 2x_1 - 6x_2}\).

Câu 8. (TS lớp 10-Kon Tum 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - 7x + 5 = 0\), biết phương trình có hai nghiệm là \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(P = |x_2 - 3| + \sqrt{x_1 + 4}\).

Câu 9. (TS lớp 10-Lào Cai 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - 5x + 2 = 0\) có hai nghiệm là \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = \sqrt{16x_1^2 + 8x_1x_2 + 5x_2} - 2 + 3x_1\).

Câu 10. (TS lớp 10-Nam Định 25-26)

Biết phương trình \(x^2 + 9x + 2 = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt{-13x_1 + 2} - x_2\).

Câu 11. (TS lớp 10-Nghệ An 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - 3x + 1 = 0\) có hai nghiệm dương \(x_1, x_2\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{|7x_1 - 3x_2^2|}{x_1^2 + \frac{1}{x_1^2} + x_2 + 2}\).

Câu 12. (TS lớp 10-Phú Thọ 25-26)

Cho phương trình \(x^2 - (m-1)x - 3m - 6 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn điều kiện \(|x_1| = 5 + |x_2|\).

Câu 13. (TS lớp 10-Thanh Hóa 25-26)

Tìm \(m\) để phương trình \(x^2 - 2x - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 - x_2^2 = 4m + 4\).

Câu 14. (TS lớp 10-PTNK HCM 25-26)

Tìm \(m\) để phương trình \(2x^2 - 2x - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(\sqrt{m + 2x_1 - x_1^2} + \sqrt{m + 2x_2 - x_2^2} = 2\).