Cắt hình chữ nhật có diện tích lớn nhất từ một tam giác đều

Hướng dẫn chi tiết cách tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác đều cạnh 100cm có diện tích lớn nhất bằng bất đẳng thức AM-GM

Bài toán tối ưu: Cắt hình chữ nhật diện tích lớn nhất từ tấm nhôm hình tam giác đều

Các bài toán cực trị hình học thường xuất hiện trong chương trình Toán phổ thông và các đề thi ứng dụng thực tế. MathVN xin giới thiệu lời giải cho bài tập tìm kích thước hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp trong một tam giác đều cho trước.

---

Đề bài

[Đề kiểm tra cuối học kỳ 2 Toán 9]

Cho một tấm nhôm có hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $100$ cm. Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác để được hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M, N$ thuộc $BC$; $P$ thuộc $AC$ và $Q$ thuộc $AB$). Tìm độ dài $MB$ để hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập các đại lượng

Đặt $MB = x$ (đơn vị: cm, điều kiện: $0 < x < 50$).

Do tính đối xứng của tam giác đều và hình chữ nhật nội tiếp, ta có $NC = MB = x$.

Khi đó, độ dài cạnh $MN$ của hình chữ nhật là:

$$ MN = BC - MB - NC = 100 - 2x $$

Xét tam giác vuông $BMQ$ tại $M$, có góc $\widehat{B} = 60^\circ$ (do tam giác $ABC$ đều). Ta có:

$$ MQ = MB \cdot \tan 60^\circ = x\sqrt{3} $$

2. Tính diện tích hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ được tính bởi công thức:

$$ S = MN \cdot MQ = (100 - 2x) \cdot x\sqrt{3}= 2\sqrt{3} \cdot (50 - x) \cdot x.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất của $S$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Cô-si) cho hai số dương $(50 - x)$ và $x$:

$$ S \le 2\sqrt{3} \left[ \frac{(50 - x) + x}{2} \right]^2 = 2\sqrt{3} \cdot 25^2 = 1250\sqrt{3} $$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $50 - x = x \Leftrightarrow 2x = 50 \Leftrightarrow x = 25$ (cm).

4. Kết luận

Khi $MB = 25$ cm thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.

Nhận xét

Ta cũng có thể đánh giá $S$ bằng phương pháp tách bình phương như sau:

$$ S = 2\sqrt{3}(50x - x^2) = 2\sqrt{3}\Big[625 - (x^2 - 50x + 625)\Big] = 2\sqrt{3}\Big[625 - (x - 25)^2\Big] $$

Vì $(x - 25)^2 \ge 0$ nên $$S \le 2\sqrt{3} \cdot 625 = 1250\sqrt{3}.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $$x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 25.$$