Công thức hoán vị mũ logarit a^(log_b c)=c^(log_b a), chứng minh chi tiết áp dung a^(log_a b)=b và ví dụ minh họa từ cơ bản đến nâng cao có lời giải.
Công thức hoán vị mũ – logarit là một trong những dạng biến đổi quan trọng giúp rút gọn nhanh biểu thức chứa lũy thừa và logarit. Bài viết này sẽ trình bày công thức, chứng minh công thức và các ví dụ minh họa có lời giải.
Công thức hoán vị mũ – logarit và ứng dụng
1. Công thức
Công thức hoán vị mũ – logarit (tính đối xứng):
\[\boxed{\Large a^{\log_b c} = c^{\log_b a}} \]với \( a > 0,\; a \ne 1;\; b > 0,\; b \ne 1;\; c > 0 \).
2. Chứng minh công thức
Đặt:
\[ t = \log_b c \]Khi đó:
\[ c = b^t \]Thay vào vế phải:
\[ c^{\log_b a} = (b^t)^{\log_b a} = b^{t \cdot \log_b a} = (b^{\log_b a})^t = a^t = a^{\log_b c} \]
Kết luận:
\[\large a^{\log_b c}=c^{\log_b a}. \]3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Không sử dụng máy tính, hãy tính: \( 9^{\log_3 2}. \)
Ví dụ 2
Không sử dụng máy tính, hãy tính: \(8^{\log_2 5}.\)
Ví dụ 3
Không dùng máy tính, tính: \( A = 4^{\log_2 3} \cdot 9^{\log_3 2}. \)
Ta có
\[ A = 3^{\log_2 4} \cdot 2^{\log_3 9}= 3^2 \cdot 2^2 = 36. \]Ví dụ 4
Không dùng máy tính, so sánh: \( 4^{\log_5 7} \) và \( 7^{\log_5 3}. \)
Áp dụng công thức:
\[ 4^{\log_5 7} = 7^{\log_5 4} \] Ta có \[ \log_5 4>\log_5 3\] nên \[7^{\log_5 4}>7^{\log_5 3}\] Dó đó: \[ 4^{\log_5 7} > 7^{\log_5 3}. \]Ví dụ 5 (tìm m)
Tìm tất cả số thực \( m \) để:
\[ (m+2)^{\log_5 (m-1)} = (2026 - m)^{\log_5 (m+2)}. \]Điều kiện:
\[ 1 < m < 2026. \]Áp dụng công thức hoán vị mũ lôgarit:
\[ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \]Vế phải:
\[ (2026 - m)^{\log_5 (m+2)} = (m+2)^{\log_5 (2026 - m)} \]Khi đó phương trình trở thành:
\[ (m+2)^{\log_5 (m-1)} = (m+2)^{\log_5 (2026 - m)} \]Từ điều kiện ta có \( m+2 > 0,\; m+2 \ne 1 \), nên ta suy ra:
\[ \log_5 (m-1) = \log_5 (2026 - m) \] \[ \Leftrightarrow m-1 = 2026 - m \] \[ \Leftrightarrow m = \dfrac{2027}{2} \]Giá trị này thỏa điều kiện.
Kết luận:
\[ \boxed{m = \dfrac{2027}{2}} \]
