Công thức tính nhanh diện tích Parabol: Chứng minh và Ví dụ có lời giải

Chứng minh công thức tính nhanh diện tích Parabol S = 2/3.d.h. So sánh cách giải bằng công thức tính nhanh và tích phân lớp 12 giúp học sinh đối chiếu

Chứng minh công thức tính nhanh diện tích Parabol

Trong các kỳ thi trắc nghiệm, việc ghi nhớ các công thức tính nhanh là một lợi thế lớn. MathVN xin giới thiệu phương pháp thiết lập và chứng minh công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một Parabol và một đường thẳng cắt nó (đối xứng).

Đề bài (Công thức)

Cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng (như hình vẽ bên dưới). Độ rộng đáy (khoảng cách giữa hai giao điểm của parabol với đường thẳng) là $d$ và chiều cao (khoảng cách từ đỉnh parabol đến đường thẳng đáy) là $h$. Chứng minh rằng diện tích $S$ của hình phẳng đó được tính bằng công thức:

$$ \Large \boxed{S = \frac{2}{3} \cdot d \cdot h} $$

Chứng minh (bằng Tích phân)

1. Thiết lập hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho trục hoành trùng với đường thẳng, gốc tọa độ $O(0,0)$ là trung điểm của đoạn thẳng đáy và Parabol quay bề lõm xuống dưới.

Khi đó, phương trình Parabol có dạng: $$y = ax^2+h.$$

Đường thẳng đáy (chính là trục hoành) cắt Parabol tại hai điểm có khoảng cách $d$. Tọa độ hai giao điểm này là $(-\frac{d}{2}, 0)$ và $(\frac{d}{2}, 0)$.

2. Xác định hệ số $a$

Thay tọa độ điểm $(\frac{d}{2}, 0)$ vào phương trình Parabol ta được:

$$ 0 = a \left( \frac{d}{2} \right)^2 + h \Rightarrow a = -\frac{4h}{d^2}. $$

Vậy phương trình Parabol là: $$y = -\frac{4h}{d^2}x^2+h.$$

3. Tính diện tích bằng tích phân

$$ S = \int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} \left( -\frac{4h}{d^2}x^2 +h \right) dx. $$

Tính nguyên hàm và thay cận:

$$ S = \left[ hx - \frac{4h}{3d^2}x^3 \right]_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}} = 2 \cdot \left( h \cdot \frac{d}{2} - \frac{4h}{3d^2} \cdot \frac{d^3}{8} \right) $$

$$ S = 2 \cdot \left( \frac{hd}{2} - \frac{hd}{6} \right) = 2 \cdot \frac{hd}{3} = \frac{2}{3}dh $$

4. Kết luận

Công thức $S = \frac{2}{3}dh$ đã được chứng minh thông qua công cụ tích phân.

Nhận xét

Công thức này đặc biệt hữu dụng vì:

• Không phụ thuộc vào vị trí của Parabol trong hệ tọa độ.
• Chỉ cần xác định được khoảng cách giữa 2 giao điểm ($d$) và khoảng cách từ đỉnh tới đường nối 2 giao điểm đó ($h$).
• Áp dụng rất nhanh cho các bài toán thực tế như tính diện tích cổng chào, vòm cầu hình Parabol.

Ví dụ minh họa: So sánh cách tính nhanh và cách dùng tích phân truyền thống

Để thấy được sự hiệu quả của công thức $S = \frac{2}{3}dh$, chúng ta sẽ cùng giải quyết các bài toán sau đây bằng cả phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tự luận lớp 12.

Ví dụ 1: Bài toán thực tế cổng Parabol

Một cổng chào hình Parabol có chiều cao $h = 6$ m và chiều rộng tại chân cổng là $d = 4$ m. Tính diện tích của cổng đó.

Cách 1: Dùng công thức tính nhanh

Áp dụng công thức tính nhanh diện tích parabol với $d=4, h=6$:

$$ S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 6 = 16 \, (m^2) $$

Cách 2: Tính trực tiếp bằng tích phân

Chọn hệ trục $Oxy$ tương tự như ở phần chứng minh trên (xem hình vẽ dưới), ta có phương trình parabol là: $$y = -\frac{3}{2}x^2+6.$$

Diện tích cổng chào:

$$ S = \int_{-2}^{2} (-\frac{3}{2}x^2 +6) dx = \left[ 6x - \frac{x^3}{2} \right]_{-2}^{2} = 16 \, (m^2) $$

Ví dụ 2: Parabol giới hạn bởi trục hoành

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P): y = -x^2 + 6x - 5$ và trục hoành $Ox$.

Cách 1: Dùng công thức tính nhanh

Giải phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2 + 6x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 5$.

Độ rộng đáy $d = |5 - 1| = 4$.

Đỉnh của Parabol có tọa độ $I(3; 4)$, suy ra chiều cao $h = |y_I| = 4$.

$$ S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{32}{3} \, (đvdt) $$

Cách 2: Dùng tích phân (Lớp 12)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành ($y=0$) là:

$$ S = \int_{1}^{5} \Big| -x^2 + 6x - 5 \Big| dx $$

Vì trên đoạn $[1; 5]$, Parabol luôn nằm phía trên trục hoành nên:

$$ S = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{5} $$ $$ = \left( -\frac{125}{3} + 75 - 25 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 - 5 \right) = \frac{32}{3} \, (đvdt) $$

Ví dụ 3: Parabol giới hạn bởi đường thẳng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $(P): y = 2x^2 - 4x - 4$ và đường thẳng $y=2$.

Cách 1: Công thức tính nhanh

Giải phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 -4 x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.

Độ rộng đáy $d = |3 -(- 1)| = 4$.

Đỉnh của Parabol là $C(1; -6)$, suy ra chiều cao $h = |y_C-2| = |-6-2|=8$.

$$ S = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 8 = \frac{64}{3} \, (đvdt) $$

Cách 2: Dùng trực tiếp Tích phân

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $y=2$ là:

$$ S = \int_{-1}^{3} \Big| (2x^2 - 4x - 4) - 2 \Big| dx = \frac{64}{3} \, (đvdt)$$

Nhận xét chung

Việc sử dụng tích phân giúp ta hiểu bản chất, nhưng công thức $S = \frac{2}{3}dh$ giúp giải quyết bài toán chỉ trong vòng 10 giây nếu bạn đã xác định được các thông số cơ bản của Parabol. Phù hợp cho các bài toán trắc nghiệm (chọn hoặc điền đáp số).