Toán 9: Sử dụng định lí Viète tính giá trị của biểu thức không đối xứng đặc biệt, lạ lẫm với học sinh lớp 9, cách nhân lượng liên hợp hoặc KT hạ bậc.
Dùng định lí Viète tính giá trị biểu thức không đối xứng
Đề bài toán
[Thi thử vào lớp 10 năm 2026-2027, UBND phường Trường Vinh]
Cho phương trình
\(
x^2 - 7x + 9 = 0
\). Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức
\[ T_1 = \sqrt{x_1^2 + 2000} - \sqrt{-x_2^2 + 2031} + 2026. \]
Lời giải
Tính $T$ - Cách 1: Nhân lượng liên hợp
Ta có: \[ \Delta = (-7)^2 - 4\cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13 > 0 \] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1x_2 = 9 \end{cases} \] Xét biểu thức: \[ T = \sqrt{x_1^2 + 2000} - \sqrt{-x_2^2 + 2031} + 2026 \] Ta biến đổi (nhân lượng liên hợp): \[ T = \frac{(x_1^2 + 2000) - (-x_2^2 + 2031)}{\sqrt{x_1^2 + 2000} + \sqrt{x_2^2 + 2031}} + 2026 \] \[ = \frac{x_1^2 + x_2^2 - 31}{\sqrt{x_1^2 + 2000} + \sqrt{x_2^2 + 2031}} + 2026 \] Nhận thấy: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 49 - 18 = 31 \] Do đó: \[ \boxed{T = 2026}. \]Cách 2 để tính $T$: Kỹ thuật hạ bậc
Từ phương trình đã cho: \[ x^2 = 7x - 9 \] Suy ra: \[ x_1^2 + 2000 = 7x_1 + 1991 \] Tương tự:\[ - x_2^2 + 2031 = -(7x_2 - 9) + 2031 = -7x_2 + 2040 \]
Mà (từ hệ thức Viete): \[ x_2 = 7 - x_1 \] nên:\[ -7x_2 + 2040 = -7(7 - x_1) + 2040 = 7x_1 + 1991 \]
Do đó:\[ \sqrt{x_1^2 + 2000} = \sqrt{-x_2^2 + 2031} \]
Suy ra: \[ \boxed{T = 2026}. \]
