Đề thi môn Toán chuyên trong Kỳ thi thử vào lớp 10 THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm 2026 lần 2. Đề gồm 5 câu: tổ hợp, xác suất, bđt, hh, số học, đt,...
Đề Toán chuyên - Kỳ thi thử vào lớp 10 THPT Chuyên năm 2026 lần 2
Thông tin đề thi
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Đề thi gồm có: 01 trang
BÀI THI MÔN: TOÁN CHUYÊN
Dành cho các thí sinh thi thử vào chuyên Toán, chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Nội dung đề thi
Câu 1 (2,5 điểm)
a) Cho \(a,b\) là các số thực thỏa mãn:
\[ ab+\sqrt{ab+1}+\sqrt{(a^2+b)(b^2+a)}=0. \]
Tính giá trị biểu thức:
\[ S=a\sqrt{b^2+a}+b\sqrt{a^2+b}. \]
b) Mỗi cạnh của một hình vuông được tô màu một cách ngẫu nhiên bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì của hình vuông luôn khác màu.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho các số thực \(a,b,c \ge 1\). Chứng minh:
\[ \frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b} \le \frac{a+b+c}{4}. \]
b) Cho đa thức \[f(x)=a^{2026}x^2+bx+a^{2026}c-1,\] với \(a,b,c\) là các số nguyên. Giả sử phương trình \(f(x)=-2\) có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng:
\[ \frac{(f(1))^2+(f(-1))^2}{2} \] là hợp số.
Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau \((a,b,c)\) sao cho với mọi số nguyên dương \(n\) thì biểu thức
\[ (a^n+b^n+c^n)^2 \] chia hết cho \(ab+bc+ca\).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) (\(AB<AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\) và có \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn đường kính \(AI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai \(M\). Các đường thẳng \(AM, BC\) cắt nhau tại \(K\). Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AI\) và đường tròn \((O)\).
a) Chứng minh \(KI \perp AI.\)
b) Gọi \(N\) là giao điểm thứ hai của \(KE\) với đường tròn \((O)\). Chứng minh:
\[ \frac{MC}{MB}\cdot\frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}. \]
Câu 5 (1,0 điểm)
Một khu vực được chia thành lưới \(8\times 8\) gồm 64 ô vuông. Một số ô được đặt camera giám sát. Một ô không có camera gọi là được giám sát đầy đủ nếu tổng số camera nằm trên hàng và cột chứa ô đó không nhỏ hơn 8.
Biết rằng mọi ô không có camera đều được giám sát đầy đủ. Hỏi: Có thể có nhiều nhất bao nhiêu ô không có camera?
Đề gốc (ảnh)
