Giải chi tiết Câu 1 (Hệ phương trình) - Đề thi Olympic 30/4 XXX môn Toán khối 10

Hướng dẫn giải hệ phương trình 3 ẩn bậc hai trong đề thi Olympic 30/4 khối 10 năm 2026 bằng phương pháp cộng đại số để tìm mối liên hệ giữa các biến.

Giải chi tiết câu Hệ phương trình - Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX (2026)

Trong đề thi môn Toán khối 10 - kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 năm 2026, câu hệ phương trình được đánh giá là một câu hỏi kiểm tra kỹ năng quan sát và biến đổi đại số khéo léo. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho Câu 1 dưới đây.

Đề bài (hệ phương trình)

Tìm tất cả các số thực $x > 0, y > 0, z > 0$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$ \begin{cases} x(x-3) + 2y(y-3) - 9z = 0 \quad (1) \\ x(2x-9) - 12y + z(z-15) = 0 \quad (2) \\ -6x + y(y-9) + 2z(z-6) = 0 \quad (3) \end{cases} $$

Lời giải chi tiết

1. Tìm mối liên hệ giữa các biến

Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) rồi trừ đi 2 lần phương trình (3), ta thu được:

$$ [x^2 - 3x + 2y^2 - 6y - 9z] + [2x^2 - 9x - 12y + z^2 - 15z] - 2[-6x + y^2 - 9y + 2z^2 - 12z] = 0 $$

Rút gọn ta được:

$$ 3x^2 - 3z^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = z^2 $$

Do điều kiện $x > 0, z > 0$, ta dẫn đến $\boxed{z = x}$.

2. Giải hệ phương trình theo biến $x$ và $y$

Thế $z = x$ vào phương trình (1), ta được:

$$x^2 - 3x + 2y^2 - 6y - 9x = 0 \Leftrightarrow x^2 - 12x + 2y^2 - 6y = 0.$$

Thế $z = x$ vào phương trình (2), ta được:

$$2x^2 - 9x - 12y + x^2 - 15x = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 24x - 12y = 0.$$

Từ phương trình thứ hai, ta rút ra: $$y = \frac{3x^2 - 24x}{12} = \frac{x^2 - 8x}{4}.$$

Thế ngược $y$ vào phương trình đầu tiên:

$$ x^2 - 12x + 2 \cdot \left( \frac{x^2 - 8x}{4} \right)^2 - 6 \cdot \frac{x^2 - 8x}{4} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 8x^2 - 96x + x^4 - 16x^3 + 64x^2 - 12x^2 + 96x = 0 $$ $$ \Leftrightarrow x^4 - 16x^3 + 60x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x-6)(x-10) = 0 $$

Vì $x > 0$ nên ta có hai trường hợp: $x=\mathbf{6}$ hoặc $x=\mathbf{10}$.

3. Kiểm tra điều kiện và thử lại

• Với $x = 6$: Ta có $$y = \frac{6^2 - 8 \cdot 6}{4} = -3$$ không thoả điều kiện $y > 0$.
• Với $x = 10$: Ta có $$y = \frac{10^2 - 8 \cdot 10}{4} = 5$$ thỏa mãn điều kiện $y > 0$. Khi đó $$z = x = 10.$$

Thử lại, ta thấy bộ số $$(x; y; z) = (10; 5; 10)$$ thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ.

Kết luận

Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là $(10; 5; 10)$.