Lời giải chi tiết câu Đa thức Toán 10 Olympic 30/4 2026 lần XXX. Hướng dẫn kỹ thuật sử dụng nghiệm chung và so sánh hệ số để tìm các tham số $a,b,c$.
Giải chi tiết câu Đa thức - Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX (2026)
Tiếp nối chuỗi lời giải các câu hỏi trong đề thi Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX năm 2026, MathVN xin gửi tới các bạn lời giải chi tiết Câu 2 môn Toán khối 10 về chủ đề Đa thức.
Đề bài (Câu 2)
[Câu 2. (3 điểm) - Đề Toán khối 10 Olympic truyền thống 30 tháng 4 lần thứ 30 năm 2026]Tìm tất cả các số thực $a, b, c$ sao cho mỗi đa thức $x^2 - 3x + a$ và $x^2 + x + b$ có 2 nghiệm thực phân biệt và đều là nghiệm của đa thức $x^3 - x^2 + cx + 4$.
Lời giải chi tiết
1. Lập luận về nghiệm chung
Do hai đa thức bậc hai $x^2 - 3x + a$ và $x^2 + x + b$ có tổng cộng 4 nghiệm (tính cả lặp lại), trong khi đa thức bậc ba $x^3 - x^2 + cx + 4$ có tối đa 3 nghiệm thực, nên hai đa thức bậc hai này phải có ít nhất một nghiệm chung.
Gọi $t$ là nghiệm chung đó, ta có hệ điều kiện:
Trừ hai vế của hệ phương trình, ta được: $4t + b - a = 0 \Rightarrow t = \frac{a - b}{4}$.
2. Sử dụng đồng nhất thức và so sánh hệ số
Vì các nghiệm của hai đa thức bậc hai đều là nghiệm của đa thức bậc ba, ta có mối liên hệ:
So sánh hệ số của $x^3$ ở hai vế:
- Vế trái: Hệ số của $x^3$ là $-t - 1$.
- Vế phải: Hệ số của $x^3$ là $1 - 3 = -2$.
Từ đó suy ra: $-t - 1 = -2 \Rightarrow \mathbf{t = 1}$. Thay vào biểu thức của $t$, ta có $a = b + 4$.
Khi $t = 1$, đồng nhất thức trở thành:
Khai triển và so sánh các hệ số còn lại ($x^2, x$ và hệ số tự do), ta thu được hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được: $c = -4; b = -2$ và từ đó $a = 2$.
3. Thử lại điều kiện
Với $a = 2, b = -2, c = -4$:
- $x^2 - 3x + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $1$ và $2$.
- $x^2 + x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $1$ và $-2$.
- $x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0$ có ba nghiệm là $1, 2, -2$.
Các điều kiện về nghiệm thực phân biệt và nghiệm chung đều thỏa mãn.
Kết luận
Các giá trị cần tìm là \[\boxed{a = \mathbf{2}, b =\mathbf{-2}, c = \mathbf{-4}}\]
