Giải chi tiết Bài 3 môn Toán khối 10 tại Kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 lần thứ XXX. Tìm số nguyên $n$ để dãy số $2^k \cdot n - 1$ là số nguyên tố.
Giải chi tiết bài toán số nguyên tố và lũy thừa $2^k \cdot n - 1$
Trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán, ở lĩnh vực số học, dạng bài về tính chất số nguyên tố của các biểu thức lũy thừa luôn là một thử thách khó. MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tìm số nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện dãy số nguyên tố dưới đây.
Đề bài toán
[Câu 3. (4 điểm) - Đề thi Olympic 30/4 lần thứ XXX môn Toán khối 10 năm 2026]Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 2$ sao cho mỗi số $2^2 \cdot n - 1, 2^3 \cdot n - 1, \dots, 2^n \cdot n - 1$ là số nguyên tố.
Lời giải chi tiết
1. Kiểm tra các giá trị nhỏ của $n$
Trước hết, ta xét các giá trị đầu tiên của $n$ để tìm quy luật:
- Với $n = 2$: Ta có số duy nhất $2^2 \cdot 2 - 1 = 7$ (là số nguyên tố). Thỏa mãn.
- Với $n = 3$: Các số là $2^2 \cdot 3 - 1 = 11$ và $2^3 \cdot 3 - 1 = 23$ (đều là số nguyên tố). Thỏa mãn.
- Với $n = 4$: Xét số đầu tiên $2^2 \cdot 4 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$ (hợp số). Loại.
- Với $n = 5$: Xét số $2^3 \cdot 5 - 1 = 39 = 3 \cdot 13$ (hợp số). Loại.
2. Xét trường hợp $n \ge 6$ và $n-1$ có ước nguyên tố lẻ
Giả sử $n \ge 6$, khi đó $n - 1 \ge 5$. Nếu $n - 1$ có một ước nguyên tố lẻ $p$, ta có $3 \le p \le n-1$.
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Khi đó xét số hạng trong dãy ứng với số mũ $k = p-1$:
Vì $n - 1 \ge 5$ và $p$ là ước của $n-1$ nên hiển nhiên $2^{p-1} \cdot n - 1 > p$. Do đó số này là hợp số.
3. Xét $n \ge 6$ và $n - 1$ chỉ có ước nguyên tố là 2
Nếu $n-1$ không có ước nguyên tố lẻ, thì $n-1$ phải có dạng $2^k$ hay $n = 2^k + 1$. Với $n \ge 6$, ta xét $k \ge 3$.
Xét số hạng ứng với số mũ $k-1$ trong dãy (với $k-1 < n$):
Biến đổi biểu thức:
Vì $k \ge 3$, cả hai thừa số $(2^k - 1)$ và $(2^{k-1} + 1)$ đều lớn hơn 1, nên biểu thức trên là hợp số.
Kết luận
Các giá trị $n$ cần tìm là $\boxed{n = 2}$ và $\boxed{n = 3}$.
