Thể tích chậu cây dạng paraboloid – Giải bằng công thức tính nhanh và tích phân

Hướng dẫn tính thể tích chậu cây dạng chảo parabol paraboloid bằng 2 cách giải: dùng công thức nhanh và tích phân lớp 12. Lời giải chi tiết, dễ hiểu.

Tính thể tích chậu cây có hình dạng chảo parabol (paraboloid)

Đề bài toán

Một chậu cây có chiều cao là \(30\text{ cm}\) và đường kính miệng chậu là \(30\text{ cm}\). Mặt cắt ngang của chậu cây là một đường parabol (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính thể tích của chậu cây đó.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Dùng công thức tính nhanh (paraboloid)

Bán kính miệng chậu: \[R = \frac{30}{2} = 15\text{ cm}\] Chiều cao chậu: \[h = 30\text{ cm}\] Thể tích paraboloid: \[ V = \frac{1}{2}\pi R^2 h \] Thay số: \[ V = \frac{1}{2}\pi \cdot 15^2 \cdot 30 = 3375\pi \ (\text{cm}^3) \]

Cách 2: Dùng trực tiếp tích phân

Bước 1: Lập phương trình parabol
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với:

• Đỉnh chậu tại \(O(0,0)\)
• Miệng chậu tại \(y = 30\), bán kính \(x = 15\)

Parabol có dạng: \[ y = ax^2 \] Thay điểm \((15, 30)\): \[ 30 = a \cdot 15^2 \Rightarrow a = \frac{2}{15} \] Suy ra: \[ y = \frac{2}{15}x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{15}{2}y \] Bước 2: Lập tích phân
Thể tích khối tròn xoay quanh trục \(Oy\): \[ V = \pi \int_0^{30} x^2 \, dy \] Thay vào: \[ V = \pi \int_0^{30} \frac{15}{2}y \, dy = \frac{15\pi}{2} \int_0^{30} y \, dy \] Bước 3: Tính tích phân
\[ V = \frac{15\pi}{2} \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{30} = \frac{15\pi}{2} \cdot \frac{900}{2} = 3375\pi \] Vậy: \[ V = 3375\pi \ (\text{cm}^3) \]

Kết luận

Thể tích chậu cây: \[V=3375\pi \ \text{cm}^3\approx 10\,603 \ \text{cm}^3 \approx 10,6 \ \text{dm}^3\]