Tìm khoảng cách giữa hai cột treo dây dựa trên độ cao và chiều dài dây xích

Giải bài toán tìm khoảng cách giữa hai cột treo dây dựa trên độ cao và chiều dài dây xích với 2 trường hợp: Điểm thấp nhất cách đất h=10m và h=20m.

"Câu hỏi phỏng vấn Amazon": Độ dài dây xích và khoảng cách giữa hai cột treo dây

Bài toán về sợi dây treo giữa hai cột là một ví dụ điển hình về việc kết hợp giữa tư duy quan sát logic và kiến thức giải tích về đường dây xích (đường võng). MathVN xin giới thiệu lời giải chi tiết cho hai trường hợp phổ biến của bài toán này.

Đề bài

Cho hai cột cao bằng nhau là $50$ m. Một sợi dây xích dài $80$ m được treo vào đỉnh của hai cột. Tìm khoảng cách giữa hai cột trong hai trường hợp sau:

• 1. Trường hợp 1: Điểm thấp nhất của sợi dây cách mặt đất $10$ m.
• 2. Trường hợp 2: Điểm thấp nhất của sợi dây cách mặt đất $20$ m.

Lời giải chi tiết

1. Trường hợp 1: Điểm thấp nhất cách mặt đất $10$ m (Mẹo - Tư duy)

Xét khoảng cách từ đỉnh cột xuống điểm thấp nhất của dây:

$$ h = 50 - 10 = 40 \text{ (m)} $$

Vì tổng chiều dài sợi dây là $80$ m, nên một nửa sợi dây có chiều dài là $40$ m. Ta nhận thấy chiều dài nửa sợi dây đúng bằng khoảng cách thẳng đứng từ điểm treo đến điểm thấp nhất.

Nhận xét: Điều này chỉ có thể xảy ra khi sợi dây buông thõng thẳng đứng hoàn toàn. Khi đó, hai cột phải sát nhau.

Kết luận: Khoảng cách giữa hai cột bằng $0$ m.

---

2. Trường hợp 2: Điểm thấp nhất cách mặt đất $20$ m (Giải tích)

Hình dạng sợi dây được mô tả bởi hàm số (đường dây xích - catenary): $$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right).$$ Chọn gốc tọa độ sao cho điểm thấp nhất có tọa độ $(0, a)$.

Bước 1: Thiết lập hệ phương trình

Gọi $s$ là nửa chiều dài dây ($s = 40$ m) và $y$ là tung độ tại đỉnh cột. Ta có:

$$ y = a + (50 - 20) = a + 30 $$

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và tung độ trong đường dây xích: $y^2 - s^2 = a^2$

Bước 2: Tìm tham số $a$

$$ (a + 30)^2 - 40^2 = a^2 $$ $$\Rightarrow a^2 + 60a + 900 - 1600 = a^2$$ $$\Rightarrow 60a = 700 \Rightarrow a = \frac{35}{3} $$

Bước 3: Tính khoảng cách $d = 2x$

Áp dụng công thức $s = a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)$:

$$ 40 = \frac{35}{3} \sinh\left(\frac{3x}{35}\right) \Rightarrow \sinh\left(\frac{3x}{35}\right) = \frac{24}{7} $$ $$ \Rightarrow \frac{3x}{35} = \ln\left(\frac{24}{7} + \sqrt{\left(\frac{24}{7}\right)^2 + 1}\right) = \ln(7) $$ $$ \Rightarrow x = \frac{35\ln(7)}{3} \approx 22.7 \text{ (m)} $$

Kết luận:

Khoảng cách giữa hai cột là $d=2x \approx \boxed{\mathbf{45.4}}$ m.