Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên sông Hương qua góc nhìn cột cờ Phu Văn Lâu

Giải chi tiết bài toán thực tế về góc nâng tại sông Hương. Ứng dụng lượng giác để tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai học sinh qua cột cờ Phu Văn Lâu.

Bài toán khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên hai bờ sông Hương

Đề bài

Đề tinh gọn

Hai bờ sông Hương được coi là hai đường thẳng song song, cách nhau $400$ m. Cột cờ Phu Văn Lâu cao $54,5$ m, có chân cách bờ sông gần nhất $200$ m.
Hai học sinh $A$ và $B$ đứng ở hai bờ sông:
- $A$ đứng cùng bờ với cột cờ, nhìn đỉnh cột cờ với góc nâng $\alpha$, biết $\tan\alpha = 0,1;$
- $B$ đứng ở bờ đối diện, nhìn đỉnh cột cờ với góc nâng $\beta$, biết $\tan\beta = 0,07.$
Tính khoảng cách lớn nhất giữa $A$ và $B$ (làm tròn đến mét).

Đề gốc

[Đề thi thử đầu tháng 4/2026, Sở GD-ĐT Huế]

Lời giải

Bước 1. Đặt hệ trục và xác định quỹ tích

Gọi $O$ là chân cột cờ, chiều cao cột cờ $OT = 54{,}5$ m.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:
- Bờ sông gần là đường thẳng $d_1: y = 200.$
- Bờ sông xa là đường thẳng $d_2: y = 600.$
Từ giả thiết: \[ \tan\alpha = \frac{OT}{OA} = 0{,}1 \Rightarrow OA = 545 \] \[ \tan\beta = \frac{OT}{OB} = 0{,}07 \Rightarrow OB \approx 778,6 \] Suy ra:
- $A$ là giao điểm của $d_1$ với đường tròn $(O; 545);$
- $B$ là giao điểm của $d_2$ với đường tròn $(O; 778,6).$

Bước 2. Tọa độ các điểm

Điểm $A$:

\[ x_A^2 + 200^2 = 545^2 \Rightarrow x_A = \pm \sqrt{545^2 - 200^2} \approx \pm 507 \]

Vậy có hai điểm $A$ thỏa mãn: \[A_1(507; 200),\ A_2(-507; 200).\]

Điểm $B$:

\[ x_B^2 + 600^2 = 778,6^2 \Rightarrow x_B = \pm \sqrt{778,6^2 - 600^2} \approx \pm 496 \]

Vậy có hai điểm $B$ thỏa mãn: \[B_1(496; 600),\ B_2(-496; 600).\]

Bước 3. Tính các khoảng cách

Có tất cả 4 trường hợp: \[ A_1B_1 = \sqrt{(507-496)^2 + 400^2} \approx 400 \]

\[ A_1B_2 = \sqrt{(507+496)^2 + 400^2} = \sqrt{1003^2 + 400^2} \approx 1080 \]

\[ A_2B_1 \approx 1080 \] \[ A_2B_2 \approx 400 \]

Bước 4. So sánh và tìm ra max

Giá trị lớn nhất là: \[ AB_{\max} \approx 1080\ (\text{m}) \]

Kết luận

Khoảng cách lớn nhất giữa hai học sinh là:
\[ \boxed{1080\ \text{m}} \]