Tìm tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả hệ thức bất đối xứng

Giải bài toán Viète tham số Toán 9: nhận diện nghiệm đặc biệt, biến đổi biểu thức và xử lý dạng bất đối xứng nhanh, hoặc sử dụng Viete có tham số m.

Tìm tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả hệ thức bất đối xứng

Bài toán (bất đối xứng)

[Đề thi thử vào lớp 10 năm 2026, phường Giảng Võ - Hà Nội]

Cho phương trình \[ x^2 - 4(m+1)x + 4m + 3 = 0 \quad (1). \] Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \[ \frac{x_1}{x_2 - 1} = \frac{1}{x_1}. \]

Lời giải

Ta có: \[ a + b + c = 1 - 4(m+1) + 4m + 3 = 0 \] nên phương trình có một nghiệm \(x = 1\), nghiệm còn lại là \(x = 4m + 3\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: \[ 4m + 3 \ne 1 \Rightarrow m \ne -\frac{1}{2}. \] Xét điều kiện: \[ \frac{x_1}{x_2 - 1} = \frac{1}{x_1} \] Điều kiện: \(x_2 \ne 1\), do đó \(x_2 = 4m + 3\) và \(x_1 = 1\). Thay vào điều kiện: \[ \frac{1}{(4m+3) - 1} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4m+2} = 1\] \[\Rightarrow 4m + 2 = 1 \Rightarrow m = -\frac{1}{4}. \] Giá trị này thỏa mãn điều kiện.
Vậy: \[ \boxed{m = -\frac{1}{4}}. \]

Bài tương tự (không đối xứng, có sử dụng Viete)

Đề bài tương tự

Cho phương trình \[ x^2 - (m+5)x + 4m + 4 = 0 \quad (2) \] có hai nghiệm phân biệt \(x_1 < x_2\). Tìm \(m\) để: \[ \frac{x_1}{x_2 - 4} = \frac{1}{x_1}. \]

Lời giải bài tương tự

Theo định lí Viète: \[ x_1 + x_2 = m + 5,\quad x_1x_2 = 4m + 4 \] Từ hệ thức: \[ \frac{x_1}{x_2 - 4} = \frac{1}{x_1} \Rightarrow x_1^2 = x_2 - 4 \] Do \(x_1\) là nghiệm của phương trình nên: \[ x_1^2 = (m+5)x_1 - (4m+4) \] Suy ra: \[ (m+5)x_1 - (4m+4) = x_2 - 4 \] Thay \(x_2 = m+5 - x_1\): \[ (m+5)x_1 - (4m+4) = m+5 - x_1 - 4 \] \[ \Rightarrow (m+5)x_1 - (4m+4) = m+1 - x_1 \] \[ \Rightarrow (m+6)x_1 = 5m + 5 \Rightarrow x_1 = \frac{5m+5}{m+6} \] Mặt khác: \[ x_2 = m+5 - x_1 = m+5 - \frac{5m+5}{m+6}\] Quy đồng: \[x_2=\frac{m^2 + 6m + 25}{m+6} \] Áp dụng tích: \[ x_1x_2 = 4m+4 \] Ta có: \[ \frac{(5m+5)(m^2 + 6m + 25)}{(m+6)^2} = 4m+4 \] Nhân hai vế với \((m+6)^2\): \[ 5(m+1)(m^2 + 6m + 25) = 4(m+1)(m+6)^2 \] \[ \Leftrightarrow (m+1)(m^2 - 18m - 19) = 0 \] \[ \Leftrightarrow m = -1 \text{ hoặc } m = 19\] Thử lại:
+ $m=-1$, phương trình thành $x^2-4x=0$ có hai nghiệm $x_1=0, x_2=4$: không thỏa hệ thức.
+ $m=19$, phương trình thành $x^2-24x+80=0$ có hai nghiệm $x_1=4, x_2=20$: thỏa hệ thức.
Vậy: \[ \boxed{m = 19}. \]

Nhận xét

Nếu từ đầu, nhẩm được nghiệm $x=4$ của phương trình (2) thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn, có phần tương tự lời giải bài toán (1), chỉ để ý thêm điều kiện $x_1<x_2$.