Cách tính khoảng cách giữa hai điểm trên Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ bằng cách đưa vào hệ toạ độ Oxyz, 1 đơn vị bằng bán kính Trái Đất 6371 km.
Tính khoảng cách giữa hai điểm trên Trái Đất (mặt cầu)
Đề bài toán
[Ví dụ 5 - SGK Toán 12 tập 2 - trang 58]Biết rằng nếu vị trí $M$ có vĩ độ và kinh độ tương ứng là $\alpha^\circ N, \beta^\circ E$ ($0 < \alpha < 90, 0 < \beta < 90$) thì có tọa độ $M(\cos \alpha^\circ \cos \beta^\circ; \cos \alpha^\circ \sin \beta^\circ; \sin \alpha^\circ)$ trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $1$ đơn vị trên trục bằng $6\,371\text{ km}$ trong thực tế ($O$ là tâm Trái Đất).
Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $P: 10^\circ N, 15^\circ E$ đến vị trí $Q: 80^\circ N, 70^\circ E$.
Lời giải
Ta có tọa độ các điểm trong hệ trục $Oxyz$ (với bán kính Trái Đất giả định là 1 đơn vị):
\[ P(\cos 10^\circ \cos 15^\circ; \cos 10^\circ \sin 15^\circ; \sin 10^\circ) \]
\[ Q(\cos 80^\circ \cos 70^\circ; \cos 80^\circ \sin 70^\circ; \sin 80^\circ) \]
Suy ra các vectơ tọa độ:
\[ \vec{OP} = (\cos 10^\circ \cos 15^\circ; \cos 10^\circ \sin 15^\circ; \sin 10^\circ) \]
\[ \vec{OQ} = (\cos 80^\circ \cos 70^\circ; \cos 80^\circ \sin 70^\circ; \sin 80^\circ) \]
Tích vô hướng của hai vectơ:
\[ \vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \cos 10^\circ \cos 15^\circ \cos 80^\circ \cos 70^\circ + \cos 10^\circ \sin 15^\circ \cos 80^\circ \sin 70^\circ + \sin 10^\circ \sin 80^\circ \]
\[ \vec{OP} \cdot \vec{OQ} \approx 0,2691 \]
Vì $P, Q$ thuộc mặt đất nên $|\vec{OP}| = |\vec{OQ}| = 1$.
Do đó: \[ \cos \widehat{POQ} = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OQ}|} \approx 0,2691 \]
Suy ra góc ở tâm: $\widehat{POQ} \approx 74,3893^\circ$.
Mặt khác, đường tròn tâm $O$, đi qua $P, Q$ có bán kính 1 và chu vi là $2\pi \approx 6,2832$. Độ dài cung nhỏ $\overset{\smallfrown}{PQ}$ xấp xỉ bằng:
\[ \frac{74,3893}{360} \cdot 6,2832 \approx 1,2983 \]
Khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí $P$ và $Q$ là:
\[ 1,2983 \cdot 6\,371 \approx 8\,271,4693 \text{ (km)} \]
Kết luận
Khoảng cách giữa $P$ và $Q$ xấp xỉ $8\, 271,47$ km.
Đề bài tự luyện
Luyện tập 5 - SGK
Nhấn nút để xem đáp số
