Tính độ dài giá đỡ có dạng đồ thị hàm số logarit

Tính độ dài giá đỡ có dạng đồ thị hàm số logarit (mô hình hoá), công thức tính độ dài đoạn cong bằng tích phân chính xác, đề thi thử toán tốt nghiệp.

Độ dài giá đỡ theo mô hình đồ thị hàm logarit

Đề bài

Xét mô hình giá đỡ có dạng đồ thị $y=\log x$ (cơ số $10$). Biết $AB=10$ cm và $AM=1,4$ m.

Tính độ dài giá đỡ (cung đồ thị $y=\log x$ từ điểm $B$ đến điểm $N$).

Nguồn gốc (Sở GD Huế 2026)

Lời giải chi tiết

Bước 1. Xác định cận tích phân

Ta có $10$ cm $=0,1$ m nên \( x_B = 0{,}1. \)
Do $AM = 1{,}4$ m và tại $B$ ứng với \[y_B = \log(0{,}1) = -1,\] nên \[ y_N = -1 + 1{,}4 = 0{,}4.\] Suy ra \[0,4 =\log x_N \Rightarrow x_N = 10^{0{,}4} .\]

Bước 2. Công thức tính độ dài cung

Với $y=\log x$, ta có: \[ y' = \frac{1}{x\ln 10} \] Độ dài cung: \[ L = \int_{0,1}^{10^{0{,}4}} \sqrt{1 + \left(\frac{1}{x\ln 10}\right)^2}\,dx \]

Bước 3. Tính gần đúng

Tính tích phân trên bằng máy tính: \[ L \approx 2{,}97\ \text{m} \]

Bước 4. Kết luận

Độ dài giá đỡ là: \[ \boxed{2{,}97\ \text{m}} \]

Nhận xét

Từ lời giải trên ta kết luận các ý ở đề gốc:
a) Đ - b) Đ - c) S - d) Đ.