Tính thể tích ly trà sữa có nắp cầu bằng phương pháp tích phân

Bài viết trình bày lời giải mẫu cho dạng toán thực tế tích phân: Tính thể tích ly trà sữa dựa trên các thông số miệng, đáy và nắp cầu tròn xoay.

Ứng dụng tích phân tính thể tích ly trà sữa có nắp cầu

Các bài toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay không chỉ xuất hiện trong các đề thi mà còn có tính ứng dụng thực tiễn rất cao. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tính dung tích thực của một ly trà sữa có nắp cầu dựa trên phương pháp tọa độ hóa.

Đề bài toán

[Bài toán thực tế về thể tích tròn xoay - Đề ôn thi tốt nghiệp THPT]

Một ly trà sữa có dạng hình nón cụt, đường kính đáy ly $6$ cm, đường kính miệng ly $9$ cm, chiều cao $13,4$ cm. Ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy hình dạng nửa mặt cầu, tại đỉnh của nắp có một lỗ tròn đường kính $2$ cm để cắm ống hút. Mặt phẳng chứa lỗ tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly.

Chọn hệ trục $Oxy$ (đơn vị trên trục là cm) với trục $Ox$ đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ $O$ trùng với tâm của đáy lớn (miệng ly). Tính thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ

Theo đề bài, gốc $O$ trùng với tâm miệng ly. Trục $Ox$ nằm ngang. Ta xác định tọa độ các điểm giới hạn của vật thể như sau:

• Miệng ly (tại $x=0$): Bán kính $R = 4,5$ cm. Điểm biên trên là $C(0; 4,5)$.
• Đáy ly (tại $x=-13,4$): Bán kính $r = 3$ cm. Điểm biên là $B(-13,4; 3)$.
• Nắp cầu: Có bán kính bằng bán kính miệng ly $R = 4,5$ cm. Tâm tại $O(0;0)$.

2. Xác định phương trình các đường biên

Phần thân ly (đường thẳng $BC$):

Đường thẳng đi qua $B(-13,4; 3)$ và $C(0; 4,5)$ có phương trình:

$$ y = \frac{15}{134}x + 4,5 \quad \text{với } x \in [-13,4; 0] $$

Phần nắp cầu (cung tròn $CD$):

Phương trình nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $4,5$ là $x^2 + y^2 = 4,5^2$.

Tại lỗ cắm ống hút có bán kính $r_h = 1$ cm, ta tìm hoành độ điểm $D$: $1^2 = 4,5^2 - x^2 \Rightarrow x = \sqrt{19,25}$. Cung tròn chạy từ $x = 0$ đến $x = \sqrt{19,25}$.

3. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân

Thể tích tổng thể $V$ bằng tổng thể tích phần thân ($V_1$) và phần nắp ($V_2$):

$$ V_1 = \pi \int_{-13,4}^{0} \left( \frac{15}{134}x + 4,5 \right)^2 dx $$

$$ V_2 = \pi \int_{0}^{\sqrt{19,25}} (4,5^2 - x^2) dx $$

4. Kết quả

Tổng thể tích của ly trà sữa là:

$$ V = V_1 + V_2 = 790 \text{ (cm}^3) $$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được: $\boxed{790}$ cm³.

Nhận xét

Cỡ ly

Dung tích gần $800$ ml cho thấy đây là một mẫu thiết kế ly size lớn (XL). Việc ứng dụng tích phân giúp ta tính toán chính xác cả những phần có độ cong phức tạp như nắp cầu, điều mà các công thức hình học cơ bản khó đáp ứng được.

Cách giải sử dụng công thức hình học thuần túy

Ta có thể chia ly trà sữa thành 3 phần hình học cơ bản:

a. Thể tích thân ly (Khối nón cụt $V_1$):

Với bán kính đáy lớn $R = 4,5$ cm, bán kính đáy nhỏ $r = 3$ cm và chiều cao $h = 13,4$ cm. Áp dụng công thức:

$$ V_1 = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + R \cdot r) = \frac{1}{3}\pi \cdot 13,4 \cdot (4,5^2 + 3^2 + 4,5 \cdot 3) \approx 599,5 \text{ (cm}^3) $$

b. Thể tích nắp cầu (Nửa hình cầu $V_2$):

Nắp có hình dạng nửa mặt cầu bán kính $R = 4,5$ cm:

$$ V_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 4,5^3 \approx 190,9 \text{ (cm}^3) $$

c. Thể tích lỗ cắm ống hút (Chỏm cầu $V_3$):

Lỗ cắm ống hút là một phần chỏm cầu bị cắt đi. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chứa lỗ hút ($r_{hút} = 1$ cm):

$$ d = \sqrt{R^2 - r_{hút}^2} = \sqrt{4,5^2 - 1^2} = \sqrt{19,25} \approx 4,387 \text{ (cm)} $$

Chiều cao của chỏm cầu lỗ hút là $h' = R - d = 4,5 - 4,387 = 0,113$ cm. Thể tích phần này là:

$$ V_3 = \pi h'^2 \left( R - \frac{h'}{3} \right) \approx 0,2 \text{ (cm}^3) $$

d. Tổng thể tích thực tế:

$$ V = V_1 + V_2 - V_3 = 599,5 + 190,9 - 0,2 = 790,2 \text{ (cm}^3) $$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được kết quả: $\boxed{790}$ cm³.