Ứng dụng tích phân tính thể tích chiếc mũ rộng vành

Hướng dẫn giải chi tiết bài toán tích phân chiếc mũ rộng vành. Cách tính thể tích khối tròn xoay từ hàm phân nhánh và ứng dụng thực tế của tích phân.

Bài toán Chiếc mũ rộng vành là một ví dụ điển hình cho dạng toán ứng dụng tích phân giải quyết các vấn đề thực tế. Điểm thú vị của bài toán này nằm ở việc sử dụng hàm số cho bởi nhiều công thức (hàm phân nhánh) để mô phỏng hình dáng vật thể. Trong bài viết dưới đây, Mathvn sẽ hướng dẫn bạn cách phân tích đồ thị, chia khoảng tích phân và tính chính xác thể tích khối tròn xoay để tránh những sai lầm đáng tiếc trong phòng thi.

Ứng Dụng Tích Phân Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay: Bài Toán Chiếc Mũ Rộng Vành

Đề bài toán

Đề gõ lại

Chiếc mũ rộng vành được mô hình hóa khi cho hình phẳng \((H)\) được giới hạn bởi đồ thị hàm số:

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x^2} & \text{khi } -1 \le x \le 0 \\ x^3 + 1 & \text{khi } 0 < x \le 1 \end{cases} \]

trục \(Ox\) và các đường thẳng \(x = -1, x = 1\) quay xung quanh trục \(Ox\).

Biết đơn vị trên mỗi trục là \(dm\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Diện tích của hình phẳng \((H)\) là \[S = \int_{-1}^{1} |\sqrt{1-x^2} + x^3 + 1| dx\]

b) Thể tích của khối tròn xoay trên là \(\dfrac{97}{42}\pi \text{ (dm}^3\text{)}\).

c) Giá trị của hàm số \(f(x)\) khi \(x = 1\) bằng \(2\).

d) Vành của chiếc mũ (giao tuyến của mặt tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x=1\)) có diện tích bằng \(2\pi \text{ (dm}^2\text{)}\).

Đề gốc

[Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026, Sở GD và ĐT Hà Tĩnh]

Lời giải chi tiết

1. Phân tích hàm số f(x)

Mô hình chiếc mũ được giới hạn bởi hàm số phân nhánh:

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x^2} & \text{khi } -1 \le x \le 0 \\ x^3 + 1 & \text{khi } 0 < x \le 1 \end{cases} \]

Nhánh đầu tiên là một phần của đường tròn, nhánh thứ hai là một phần của đường cong bậc ba. Cả hai nhánh đều liên tục và không âm trên đoạn đang xét.

2. Giải và kết luận từng ý

a) Kiểm tra diện tích hình phẳng ($H$)

Diện tích đúng phải là tổng tích phân của từng nhánh:

\[ S = \int_{-1}^{0} \sqrt{1-x^2} dx + \int_{0}^{1} (x^3 + 1) dx \]

Biểu thức gộp trong đề bài là sai về mặt cấu trúc hàm phân nhánh.

$\Rightarrow$ Kết luận: SAI.

b) Tính thể tích khối tròn xoay

Ta chia làm 2 phần để tính thể tích:

Phần 1 (Chóp mũ): \[ V_1 = \pi \int_{-1}^{0} (1-x^2) dx = \frac{2\pi}{3} \]

Phần 2 (Vành mũ):

\[ V_2 = \pi \int_{0}^{1} (x^3 + 1)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) dx = \frac{23\pi}{14} \]

Tổng thể tích: \[ V = \frac{2\pi}{3} + \frac{23\pi}{14} = \frac{97\pi}{42} \text{ (dm}^3\text{)} .\]

$\Rightarrow$ Kết luận: ĐÚNG.

c) Giá trị của hàm số tại $x = 1$

Thay \( x = 1 \) vào nhánh thứ hai: \( f(1) = 1^3 + 1 = 2 \).

$\Rightarrow$ Kết luận: ĐÚNG.

d) Diện tích vành mũ

Mặt cắt tại \( x = 1 \) là một hình tròn có bán kính \( r = f(1) = 2 \).

Diện tích mặt cắt: \[ S_{mc} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ (dm}^2\text{)}. \]

$\Rightarrow$ Kết luận: SAI (đề bài cho \( 2\pi \)).

Lưu ý - Nhận xét

1. Với hàm phân nhánh, khi tính diện tích hay thể tích, bắt buộc phải chia khoảng tích phân tại điểm nối (ở đây là \( x = 0 \)).

2. Cần phân biệt rõ giữa diện tích hình phẳng và diện tích mặt cắt vuông góc với trục Ox.

3. Đơn vị: Luôn chú ý đơn vị đo \( dm, dm^2, dm^3 \) để tránh sai sót trong các bài toán thực tế.