Bài toán xác suất chọn 5 học sinh từ 3 lớp, mà không lớp nào có đúng 1 học sinh. Giải chi tiết bằng đếm trực tiếp và biến cố đối (bao hàm - loại trừ).
Xác suất chọn 5 học sinh không có lớp nào có đúng 1 học sinh
Đề bài toán
Đề tinh gọn
Từ một nhóm học sinh gồm 6 học sinh lớp 10A, 8 học sinh lớp 10B và 7 học sinh lớp 10C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm trên.
Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn mà không tồn tại lớp nào có đúng 1 học sinh.
Đề gốc
[Đề thi thử toán tốt nghiệp THPT 2026 của Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]
Lời giải
Trong bài viết này, ta dùng kí hiệu số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $\binom{n}{k}$ thay cho kí hiệu $C_n^k$ thường dùng ở Việt Nam.
Cách 1: Đếm trực tiếp
Nhóm đã cho có $21$ học sinh. Tổng số cách chọn $5$ học sinh:
\[ \binom{21}{5} = 20349 \]
Xét các trường hợp không có lớp nào có đúng 1 học sinh:
Trường hợp 1: Chọn cả $5$ học sinh từ một lớp
\[ \binom{6}{5} + \binom{8}{5} + \binom{7}{5} = 6 + 56 + 21 = 83 \]
Trường hợp 2: Phân bố $(3,2,0)$
\[ \binom{6}{3}\binom{8}{2} + \binom{6}{3}\binom{7}{2} + \binom{8}{3}\binom{6}{2} + \binom{8}{3}\binom{7}{2} + \binom{7}{3}\binom{6}{2} + \binom{7}{3}\binom{8}{2} = 4501 \]
Tổng số cách thỏa mãn:
\[ 83 + 4501 = 4584 \]
Xác suất cần tìm:
\[ P = \frac{4584}{20349} = \frac{1528}{6783} \]
Cách 2: Biến cố đối
Gọi:
A: lớp 10A có đúng 1 học sinh
B: lớp 10B có đúng 1 học sinh
C: lớp 10C có đúng 1 học sinh
Khi đó biến cố đối là:
\[ A \cup B \cup C \]
Áp dụng công thức bao hàm – loại trừ:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| \]
Tính từng phần:
\[ |A| = \binom{6}{1}\binom{15}{4} = 8190 \]
\[ |B| = \binom{8}{1}\binom{13}{4} = 5720 \]
\[ |C| = \binom{7}{1}\binom{14}{4} = 7007 \]
\[ |A \cap B| = \binom{6}{1}\binom{8}{1}\binom{7}{3} = 1680 \]
\[ |A \cap C| = \binom{6}{1}\binom{7}{1}\binom{8}{3} = 2352 \]
\[ |B \cap C| = \binom{8}{1}\binom{7}{1}\binom{6}{3} = 1120 \]
Suy ra:
\[ |A \cup B \cup C| = 8190 + 5720 + 7007 - 1680 - 2352 - 1120 = 15765 \]
Số trường hợp thỏa mãn yêu cầu:
\[ 20349 - 15765 = 4584 \]
Xác suất:
\[ P = \frac{4584}{20349} = \frac{1528}{6783} \]
Đáp số
