Giải chi tiết bài toán đếm sắp xếp ma trận 3x3 với điều kiện hai đường chéo lập thành cấp số nhân, phương pháp nhanh, dễ hiểu.
Bài toán đếm: Sắp xếp ma trận 3×3 với điều kiện cấp số nhân trên đường chéo
Bài toán tổ hợp yêu cầu đếm số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đặc biệt thường xuất hiện trong đề thi nâng cao. MathVN trình bày lời giải chi tiết dựa trên việc phân tích cấu trúc cấp số nhân.
Đề bài toán
[Bài toán đếm – Đề thi thử lần 2 năm 2026 của Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]
Đề gõ lại
Cho tập hợp
\[S = \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;16;18\}.\]
Gọi \(T\) là số cách xếp 9 số phân biệt được chọn từ \(S\) vào 9 ô vuông của bảng \(3\times3\) sao cho các số trên mỗi đường chéo đều theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.Tính giá trị của \(\dfrac{T}{80}\).
Đề gốc
Lời giải chi tiết
1. Phân tích điều kiện cấp số nhân
Gọi số ở ô trung tâm là \(b\). Khi đó mỗi đường chéo gồm ba số \((x; b; z)\) là một cấp số nhân nên:
2. Xét các giá trị có thể của \(b\)
Xét trong tập \(S\), các cặp số \((x,z)\) sao cho \(xz = b^2\):
- Với \(b = 4\): có các cặp \((1;16), (2;8)\).
- Với \(b = 6\): có các cặp \((2;18), (3;12), (4;9)\) ⇒ có \(3\) cách chọn hai cặp rời nhau.
- Với \(b = 12\): có các cặp \((8;18), (9;16)\).
⇒ Tổng số cách chọn hai cặp (ứng với hai đường chéo):
3. Sắp xếp các cặp vào hai đường chéo
- Gán hai cặp cho hai đường chéo: \(2!\) cách.
- Mỗi cặp có thể sắp theo thứ tự tăng hoặc giảm: \(2^2\) cách.
4. Điền các ô còn lại
Còn lại \(4\) ô, chọn \(4\) số bất kỳ từ \(10\) số còn lại và sắp xếp:
5. Kết quả
Tổng số cách:
Suy ra:
Đáp số: \(\boxed{2520}\).
Nhận xét
Ý tưởng chính là đưa điều kiện cấp số nhân về dạng tích \(xz = b^2\), từ đó chuyển bài toán về việc chọn các cặp số phù hợp. Đây là kỹ thuật quen thuộc trong các bài toán tổ hợp có yếu tố số học.
