Bài toán tính chiều cao của Kim tự tháp Memphis (bang Tennessee, Mỹ), mô hình hoá bằng hình chóp đều và tính chiều cao khi biết tổng diện tích mặt bên
Bài toán tính chiều cao của Kim tự tháp Memphis ở bang Tennessee
Đề bài (chiều cao kim tự tháp Memphis)
Độ dốc của mái nhà là $\tan$ của góc tạo bởi mái với mặt phẳng ngang (mặt đất).
Kim tự tháp Memphis (bang Tennessee, Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều. Biết tổng diện tích các mặt là \(20075\,\text{m}^2\) và độ dốc mặt bên là \(\frac{49}{45}\).
Tính chiều cao của kim tự tháp Memphis (làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải chi tiết
Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với $O$ là tâm của đáy.
Kẻ \(OM\bot BC\).
Ta có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc \(\widehat{SMO}.\) Theo giả thiết: \[\tan \widehat{SMO}=\frac{49}{45}=\frac{SO}{OM}.\] Từ đó có số \(x>0\) sao cho: \[\begin{cases} SO = 49x \\ OM = 45x \end{cases}\] \[ \Rightarrow \begin{cases} SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{4426}\,x \\ AB = 2OM = 90x \end{cases} \] Diện tích tất cả các mặt của kim tự tháp là \[\begin{align} & S=4{{S}_{\Delta SBC}}+{{S}_{ABCD}}\\ &\Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}SM.BC+A{{B}^{2}}=20075 \\ & \Leftrightarrow 2\cdot 90x \cdot \sqrt{4426}x + (90x)^2 = 20075 \\ & \Leftrightarrow x^2\left(180\sqrt{4426} + 8100\right) = 20075 \\ & \Leftrightarrow x \approx 2 \Rightarrow \boxed{SO = 49x \approx 98}. \end{align}\] Đáp số: \(\boxed{\mathbf{98}} \, \text{m}.\)
Ta có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc \(\widehat{SMO}.\) Theo giả thiết: \[\tan \widehat{SMO}=\frac{49}{45}=\frac{SO}{OM}.\] Từ đó có số \(x>0\) sao cho: \[\begin{cases} SO = 49x \\ OM = 45x \end{cases}\] \[ \Rightarrow \begin{cases} SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{4426}\,x \\ AB = 2OM = 90x \end{cases} \] Diện tích tất cả các mặt của kim tự tháp là \[\begin{align} & S=4{{S}_{\Delta SBC}}+{{S}_{ABCD}}\\ &\Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}SM.BC+A{{B}^{2}}=20075 \\ & \Leftrightarrow 2\cdot 90x \cdot \sqrt{4426}x + (90x)^2 = 20075 \\ & \Leftrightarrow x^2\left(180\sqrt{4426} + 8100\right) = 20075 \\ & \Leftrightarrow x \approx 2 \Rightarrow \boxed{SO = 49x \approx 98}. \end{align}\] Đáp số: \(\boxed{\mathbf{98}} \, \text{m}.\)
