Bài toán tổ hợp đếm số điện thoại may mắn kèm lời giải chi tiết

Giải bài toán tổ hợp đếm số điện thoại may mắn với điều kiện chữ số chẵn, lẻ và 0 không đứng cạnh 9 cực hay, dễ hiểu cho học sinh ôn thi tốt nghiệp.

Bài toán tổ hợp đếm số điện thoại may mắn cực hay

Các bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc là dạng toán quen thuộc trong chuyên đề tổ hợp. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán đếm số điện thoại may mắn bằng phương pháp chia trường hợp.

Đề bài toán

[Bài toán tổ hợp – Đếm số điện thoại "may mắn"]

Đề gõ lại

Một số điện thoại gồm bảy chữ số, trong đó chữ số đầu tiên luôn là \(8\).

Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu:

• Bốn chữ số đầu là các chữ số chẵn phân biệt.
• Ba chữ số cuối là các chữ số lẻ.
• Hai chữ số \(0\) và \(9\) không đứng liền nhau.

Hỏi có thể tạo được bao nhiêu số điện thoại may mắn?

Đáp số

\(\boxed{2850}\)

Lời giải chi tiết

1. Xét trường hợp chữ số \(0\) đứng ở vị trí thứ tư

Khi đó số điện thoại có dạng:

$$ \overline{8a_2a_30a_5a_6a_7} $$

Chọn \(a_2, a_3\) từ tập \(\{2;4;6\}\):

$$ A_3^2 = 6 \text{ cách} $$

Do \(0\) không được đứng cạnh \(9\), nên:

• Chọn \(a_5\) từ \(\{1;3;5;7\}\): có \(4\) cách.
• Chọn \(a_6, a_7\) từ \(\{1;3;5;7;9\}\): có \(5^2 = 25\) cách.

Số điện thoại trong trường hợp này là:

$$ 6 \cdot 4 \cdot 25 = 600 $$

2. Xét trường hợp chữ số thứ tư khác \(0\)

Khi đó số điện thoại có dạng:

$$ \overline{8a_2a_3a_4a_5a_6a_7}, \quad a_4 \ne 0 $$

Chọn \(a_4\) từ \(\{2;4;6\}\):

$$ 3 \text{ cách} $$

Chọn \(a_2, a_3\) từ \(\{0;2;4;6\}\) và khác \(a_4\):

$$ A_3^2 = 6 \text{ cách} $$

Ba chữ số cuối là số lẻ:

$$ 5^3 = 125 \text{ cách} $$

Số điện thoại trong trường hợp này là:

$$ 3 \cdot 6 \cdot 125 = 2250 $$

3. Kết luận

Tổng số điện thoại may mắn là:

$$ 600 + 2250 = 2850 $$

Vậy có: \(\boxed{2850}\) số điện thoại may mắn.

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán là xử lý điều kiện hai chữ số \(0\) và \(9\) không đứng liền nhau. Việc chia thành hai trường hợp theo vị trí của số \(0\) giúp bài toán trở nên đơn giản và dễ đếm hơn.