Chi phí chế tác vật phẩm nghệ thuật hình cánh hoa tạo thành từ các đường elip

Giải bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích cánh hoa tạo nên từ elip và đường tròn và chi phí chế tác vật phẩm nghệ thuật dễ hiểu cho học sinh 12.

Bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm hình cánh hoa (hình elip + hình tròn)

Các bài toán ứng dụng tích phân trong hình học phẳng thường xuất hiện trong đề thi đánh giá năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán tính chi phí chế tác vật phẩm dựa trên diện tích các miền giới hạn bởi hai hình elip và đường tròn.

Đề bài toán

[Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT 2026 - Sở GD-ĐT Vĩnh Long]

Đề gõ lại

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm bằng giấy từ hộp kim cao cấp.

Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng \(8\) cm, độ dài trục nhỏ bằng \(\dfrac{8}{\sqrt{3}}\) cm; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm \(O\) của chúng.

Đường tròn \((O)\) đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí. Phần lõi bên trong đường tròn được tráng đồng để tăng tính thẩm mỹ với chi phí \(5.000\) đồng/cm\(^2\). Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí \(15.000\) đồng/cm\(^2\).

Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Viết phương trình các elip và đường tròn

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc \(O\) trùng với giao điểm của hai trục lớn hai elip.

Khi đó, phương trình elip \((E_1)\) có trục lớn nằm trên trục \(Ox\):

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{16} = 1 $$

Suy ra:

$$ y^2 = \frac{16 - x^2}{3} \Rightarrow y = \sqrt{\frac{16 - x^2}{3}} \quad (y \ge 0) $$

Do tính đối xứng, giao điểm của hai elip nằm trên đường phân giác \(y=x\).

Thay \(y=x\) vào phương trình \((E_1)\):

$$ \frac{x^2}{16} + \frac{3x^2}{16} = 1 \Leftrightarrow x^2 = 4 $$

Vậy hoành độ giao điểm là:

$$ x_{1,2} = \pm 2 $$

Bán kính đường tròn \((O)\):

$$ R^2 = x^2 + y^2 = 2x^2 = 8 $$

Phương trình đường tròn:

$$ x^2 + y^2 = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^2} \quad (y \ge 0) $$

2. Tính diện tích các phần

Diện tích phần lõi hình tròn:

$$ S_1 = \pi R^2 = 8\pi \text{ (cm}^2) $$

Diện tích phần cánh hoa:

Do tính đối xứng, diện tích 4 cánh hoa bằng \(8\) lần diện tích một nửa cánh hoa:

$$ S_2 = 8\left(\int_2^4 \sqrt{\frac{16-x^2}{3}}\,dx - \int_2^{2\sqrt2} \sqrt{8-x^2}\,dx \right) $$

$$ S_2 \approx 13,5616 \text{ cm}^2 $$

3. Tính tổng chi phí

Chi phí chế tác:

$$ T = 5S_1 + 15S_2 $$

$$ T \approx 329,088 \text{ (nghìn đồng)} $$

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(\boxed{329}\) nghìn đồng.

Nhận xét

Bài toán khai thác mạnh tính đối xứng của hai elip vuông góc, giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán tích phân. Việc tách riêng diện tích phần lõi và phần cánh hoa là chìa khóa để xử lý bài toán nhanh gọn.