Tính thể tích khối tròn xoay từ miền giới hạn bởi cung tròn (kèm lời giải)

Giải chi tiết bài toán tính thể tích khối tròn xoay từ miền giới hạn bởi đường tròn và cung tròn, ứng dụng tích phân lớp 12, ôn thi tốt nghiệp thpt.

Đề bài toán

[Đề thi thử Toán lần 2 năm 2026 - Sở GD-ĐT Hà Tĩnh]

Đề gốc

Đề gõ lại

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền \((H)\) (phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục \(AB\).

Miền \((H)\) được giới hạn bởi đường tròn đường kính \(AB\) và các cung tròn tâm \(A, B\) có cùng bán kính. Biết \(AB = 10\) cm, \(AH = BK = 2\) cm.

Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị cm\(^3\)), không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là \(1\) cm. Khi đó:

$$ K(3;0), \quad B(5;0) $$

Ta có:

$$ OD = \frac{1}{2}AB = 5 \Rightarrow DK = \sqrt{OD^2 - OK^2} = 4 $$

Suy ra:

$$ BC = BD = \sqrt{BK^2 + KD^2} = 2\sqrt{5} $$

Do đó:

$$ OC = 5 - 2\sqrt{5} \Rightarrow C(5 - 2\sqrt{5}; 0) $$

2. Lập phương trình các đường tròn

Đường tròn đường kính \(AB\):

$$ x^2 + y^2 = 25 $$

Đường tròn tâm \(B\), bán kính \(BD\):

$$ (x - 5)^2 + y^2 = 20 $$

Đặt:

$$ (C_1): y = \sqrt{25 - x^2}, \quad (C_2): y = \sqrt{20 - (x - 5)^2} $$

3. Tính thể tích khối tròn xoay thứ nhất

Gọi \((H_1)\) là hình phẳng giới hạn bởi \((C_1)\), \(Ox\), \(Oy\), \(x = 3\).

Thể tích khi quay quanh trục \(Ox\):

$$ V_1 = \pi \int_0^3 (\sqrt{25 - x^2})^2 dx $$

4. Tính thể tích khối tròn xoay thứ hai

Gọi \((H_2)\) là hình phẳng giới hạn bởi \((C_2)\), \(Ox\), \(x = 5 - 2\sqrt{5}\), \(x = 3\).

Thể tích khi quay quanh trục \(Ox\):

$$ V_2 = \pi \int_{5 - 2\sqrt{5}}^3 (\sqrt{20 - (x - 5)^2})^2 dx $$

5. Kết luận

Thể tích cần tìm:

$$ V = 2(V_1 - V_2) \approx 275 \text{ cm}^3 $$