Tính thể tích nước trong vỏ nhựa hình paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

Hướng dẫn tính thể tích nước trong vỏ nhựa chảo parabol chứa viên kẹo thạch hình cầu bằng tích phân. Lời giải chi tiết giúp học sinh 12 ôn tập thpt

Tính thể tích nước trái cây trong vỏ nhựa paraboloid có đặt 1 viên kẹo thạch hình cầu

Các bài toán thực tế kết hợp giữa đường cong Parabol và hình cầu thường xuất hiện trong các đề thi định hướng năng lực. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết cho bài toán tính thể tích phần nước trái cây trong vỏ nhựa hình tròn xoay dựa trên các tính chất tiếp tuyến và tích phân.

Đề bài toán

[Bài toán ứng dụng tích phân - Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 Sở Ninh Bình lần 3]

Đề gõ lại

Một công ty sản xuất kẹo thạch muốn thiết kế một loại vỏ nhựa có dạng hình tròn xoay. Hình này được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $y = h$ (với $h > 0$) quanh trục tung $Oy$. Đơn vị đo trên các trục tọa độ là mm.

Bên trong vỏ nhựa có đặt một viên kẹo thạch hình cầu bán kính $R$. Biết viên kẹo tiếp xúc với mặt xung quanh của vỏ nhựa đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của vỏ (mặt phẳng $y=h$). Gọi $M$ là điểm tiếp xúc giữa viên kẹo và mặt bên của vỏ nhựa, $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành bằng $20$ mm. Phần không gian còn lại trong vỏ nhựa được đổ đầy nước trái cây. Tính thể tích $V$ của phần nước trái cây này (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đề gốc

Lời giải chi tiết

1. Xác định tọa độ các điểm và thông số hình cầu

Theo đề bài, khoảng cách từ $M$ đến trục hoành là $20$ mm, nên tung độ của $M$ là $y_M = 20$. Vì $M \in (P): y = x^2$, ta có:

$$ x_M^2 = 20 \Rightarrow x_M = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \quad (\text{do } x_M > 0) \Rightarrow M(2\sqrt{5}; 20) $$

Gọi tâm viên kẹo là $I(0; y_I)$. Tại điểm tiếp xúc $M$, đường thẳng $IM$ phải vuông góc với tiếp tuyến của parabol. Ta có:

• Đạo hàm: $y' = 2x$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là $k_1 = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
• Hệ số góc của pháp tuyến $IM$ là $k_2 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}$.

Phương trình đường thẳng $IM$: $y - 20 = -\frac{1}{4\sqrt{5}}(x - 2\sqrt{5})$. Với $x=0$, ta tìm được tung độ tâm $I$:

$$ y_I = 20 + \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = 20,5 \text{ (mm)} $$

Bán kính viên kẹo $R$ là độ dài đoạn $IM$:

$$ R^2 = (2\sqrt{5}-0)^2 + (20-20,5)^2 = 20 + 0,25 = 20,25 \Rightarrow R = 4,5 \text{ (mm)} $$

2. Xác định giới hạn vỏ nhựa

Viên kẹo tiếp xúc với mặt đáy $y = h$ và nằm gọn bên trong vỏ, do đó:

$$ h = y_I + R = 20,5 + 4,5 = 25 \text{ (mm)} $$

3. Tính thể tích bằng phương pháp tích phân

Thể tích vật thể tròn xoay (vỏ nhựa $V_{vỏ}$): Quay $(P)$ quanh trục $Oy$ từ $0$ đến $25$.

$$ V_{vỏ} = \pi \int_{0}^{25} x^2 dy = \pi \int_{0}^{25} y dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{25} = 312,5\pi \text{ (mm}^3) $$

Thể tích viên kẹo hình cầu ($V_{kẹo}$):

$$ V_{kẹo} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (4,5)^3 = 121,5\pi \text{ (mm}^3) $$

4. Kết quả

Thể tích nước trái cây là:

$$ V = V_{vỏ} - V_{kẹo} = 312,5\pi - 121,5\pi = 191\pi. $$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được: $\boxed{600}$ mm³.

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán nằm ở việc xác định tâm $I$ của viên kẹo thông qua tính chất vuông góc của bán kính tại điểm tiếp xúc. Một sai lầm thường gặp là giả sử tâm $I$ có tung độ bằng $20$ hoặc tính sai bán kính $R$, dẫn đến kết quả không chính xác.