Bài toán cổng parabol: xét đúng sai, tính diện tích, chi phí trang trí và tối ưu cửa hình chữ nhật. Có lời giải chi tiết, dễ hiểu cho học sinh lớp 12.
Bài toán cổng parabol và chi phí trang trí - Trắc nghiệm đúng sai
Đề bài: Cổng parabol và bài toán tối ưu chi phí
[Đề thi thử lần 3 năm 2026 THPT Bá Thước - tỉnh Thanh Hoá]Một chiếc cổng có dạng là một parabol \( (P) \). Biết chiều cao cổng bằng chiều rộng và bằng \(4m\). Người ta thiết kế cửa đi là hình chữ nhật \(CDEF\), phần còn lại dùng để trang trí. Chi phí phần tô đậm là \(1.000.000\) đồng/\(m^2\).
a) Phương trình của parabol là \(y=-x^2+4\).
b) Nếu \(CD=2m\) thì \(CF=2\sqrt{2}m\).
c) Nếu \(CD=2m\) thì chi phí trang trí là khoảng \(4,5\) triệu đồng.
d) Chi phí nhỏ nhất (làm tròn đến hàng nghìn đồng) để trang trí là \(4.508.000\) đồng.
Lời giải chi tiết
a) Đúng.
Parabol có dạng \(y=ax^2+bx+c\).
Do đỉnh là \( (0;4) \Rightarrow b=0, c=4\).
Đi qua \( (2;0) \Rightarrow 4a+4=0 \Rightarrow a=-1\).
Suy ra phương trình: \(y=-x^2+4\).
b) Đúng.
Giải \( -x^2+4=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\).
Suy ra chiều rộng: \(CF=2\sqrt{2}\,m\).
c) Sai.
Diện tích phần parabol:
\[S=\int_{-2}^{2}(-x^2+4)dx=\frac{32}{3}\,m^2.\]
Diện tích hình chữ nhật: \(S_{CDEF}=4\sqrt{2}\).
Diện tích trang trí:
\[S_1=\frac{32}{3}-4\sqrt{2}\approx 5,01\,m^2.\]
Chi phí trang trí: \(\approx 5,01\) triệu đồng (không phải \(4,5\)).
d) Đúng.
Gọi \(C(a;0)\Rightarrow D(a;-a^2+4)\).
Diện tích hình chữ nhật:
\(S=2a(4-a^2)=8a-2a^3\).
Xét \(g(a)=4a-a^3.\)
Ta có \(g'(a)=4-3a^2=0 \Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{3}.\)
Bảng biến thiên:
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật: \(\frac{32\sqrt{3}}{9}\).
Diện tích trang trí nhỏ nhất: \(\frac{96-32\sqrt{3}}{9}\approx 4,508\,m^2\).
Chi phí nhỏ nhất (làm tròn đến hàng nghìn đồng): \(4.508.000\) đồng.
