Trắc nghiệm đúng sai về đồ thị đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ (ax+b)/(cx+d). Xét tính đơn điệu, giá trị hàm và điểm toạ độ nguyên từ đồ thị f'(x).
Trắc nghiệm đúng sai: Đồ thị đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
Đề bài: Đồ thị đạo hàm
[Đề thi thử tốt nghiệp THPT cụm chuyên môn số 1 Hà Nội 2026]
Cho hàm số \( f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} \) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) có đồ thị hàm số \(f'(x)\) nhận đường thẳng \(x=1\) làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên dưới.
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên \([2;4]\) bằng \(6\). Khi đó:
a) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\).
b) Giá trị của \(f(2)\) bằng \(6\).
c) Giá trị \(\dfrac{a+b}{2c-d}\) bằng \(1\).
d) Có \(4\) điểm trên đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có tọa độ nguyên.
Lời giải chi tiết
a) Sai.
Ta có:
\[f'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}.\]
Từ đồ thị, nhận thấy \(f'(x) \lt 0\) với mọi \(x \ne 1\).
Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Suy ra hàm số không đồng biến trên \((1;+\infty)\).
b) Sai.
Hàm số nghịch biến trên \((1;+\infty)\) nên trên đoạn \([2;4]\), giá trị nhỏ nhất đạt tại \(x=4\).
Theo đề: \( \min =6 \Rightarrow f(4)=6\).
Suy ra \(f(2) > f(4)=6\).
c) Đúng.
Từ tiệm cận đứng \(x=1 \Rightarrow (c.1+d)^2=0 \Rightarrow d=-c\).
Khi đó:
\(2c-d=2c-(-c)=3c\).
Từ đồ thị ta có: \(f'(0)=-3\).
\[ f'(0)=\frac{ad-bc}{d^2}=\frac{-ac-bc}{c^2}=-\frac{a+b}{c}=-3 \]
\[\Rightarrow \dfrac{a+b}{c}=3 \Rightarrow a+b=3c.\]
Do đó:\[ \frac{a+b}{2c-d}=\frac{3c}{3c}=1. \]
d) Đúng.
Từ câu b), ta có \[f(4)=6 \Rightarrow 4a+b=6(4c+d).\] Kết hợp với \(d=-c\) và \(a+b=3c\) từ câu c), ta suy ra \[a=5c, \ b=-2c.\]Ta biến đổi:
\[ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{5cx-2c}{cx-c}=5+\frac{3}{x-1}. \]
Để \(f(x)\) nguyên với \(x\) nguyên thì \(\dfrac{3}{x-1}\) phải nguyên.
\(\Rightarrow x-1 \in \{\pm1, \pm3\}\).
\(\Rightarrow x \in \{2,0,4,-2\}\).
Vậy có \(4\) điểm nguyên trên đồ thị.
