Bài toán tính thể tích hạt cườm từ khối tròn xoay elip có khoan lỗ hình trụ

Lời giải bài hạt cườm elip 2026, ứng dụng tích phân tính thể tích hạt cườm tạo từ khối tròn xoay elip sau khi khoan lỗ hình trụ dọc theo trục xoay.

Tính thể tích hạt cườm từ khối tròn xoay elip có khoan lỗ hình trụ

Đề bài

[Đề thi môn Toán tốt nghiệp THPT 2026 chính thức, câu 3 - phần III - mã đề 0103]

Đề gõ lại

Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip

\[ \frac{x^2}{1,5^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \]

(một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\).

Sau đó khoan dọc theo trục xoay một lỗ hình trụ có bán kính \(0,2\) cm và có trục trùng với trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm có dạng một khối tròn xoay.

Tính thể tích của hạt cườm đó (không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Hình minh hoạ

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Thiết lập phương trình đường sinh

Nửa trên của elip có phương trình:

\[ \frac{x^2}{1,5^2}+\frac{y^2}{1^2}=1. \]

Suy ra:

\[ y^2=1-\frac{x^2}{2,25}. \]

Bước 2. Xác định miền còn lại sau khi khoan

Lỗ khoan là hình trụ có bán kính \(0,2\) cm nên tại mỗi vị trí \(x\), tiết diện vuông góc với trục \(Ox\) là một vành khăn có diện tích:

\[ S(x)=\pi\left(y^2-0,2^2\right) =\pi\left(y^2-0,04\right). \]

Để tiết diện còn tồn tại, cần có:

\[ y\ge 0,2. \]

Thay \(y=0,2\) vào phương trình elip:

\[ 0,2^2=1-\frac{x^2}{2,25}. \]

\[ \frac{x^2}{2,25}=0,96. \]

\[ x=\pm1,5\sqrt{0,96}. \]

Bước 3. Lập tích phân tính thể tích

Thể tích hạt cườm bằng tổng thể tích các vành khăn:

\[ V = \pi \int_{-1,5\sqrt{0,96}}^{\,1,5\sqrt{0,96}} \left( 0,96-\frac{x^2}{2,25} \right)\,dx. \]

Bước 4. Tính giá trị tích phân

\[ V \approx 5,909989617\ \text{cm}^3. \]

Làm tròn đến hàng phần trăm:

\[ V\approx 5,91\ \text{cm}^3. \]

Đáp số

Vậy thể tích hạt cườm là

\[ \boxed{5,91}\ \text{cm}^3. \]