Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách (có lời giải chi tiết)

Giải chi tiết bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách khác nhau vào 4 ngăn sách, tính số cách xếp T và giá trị T chia 600, tổ hợp ôn thi tốt nghiệp THPT

Bài toán tổ hợp xếp 9 quyển sách vào 4 ngăn sách

Các bài toán đếm số cách phân chia và sắp xếp đối tượng thường xuất hiện trong chuyên đề tổ hợp. MathVN giới thiệu lời giải chi tiết bài toán xếp sách vào các ngăn có đánh số với điều kiện ngăn thứ nhất chứa đúng hai quyển.

Đề bài toán

[Bài toán tổ hợp – Xếp 9 sách vào 4 ngăn]

Đề gõ lại

Có \(4\) ngăn sách được đánh số \(1,2,3,4\) và \(9\) quyển sách khác nhau.

Bạn An xếp toàn bộ \(9\) quyển sách vào \(4\) ngăn sao cho:

• Mỗi ngăn có ít nhất \(1\) quyển sách.
• Ngăn số \(1\) có đúng \(2\) quyển sách.
• Trong mỗi ngăn, các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang từ trái sang phải.

Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu với mỗi ngăn:

• Số lượng sách trong ngăn đó là như nhau.
• Thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách là như nhau.

Gọi \(T\) là số cách xếp đôi một khác nhau. Tính: $ \dfrac{T}{600} .$

Đáp số

\(\boxed{9072}\)

Lời giải chi tiết

1. Sắp xếp 9 quyển sách thành một hàng

Vì \(9\) quyển sách đều khác nhau nên số cách sắp xếp chúng thành một hàng là:

$$ 9! $$

Sau khi có một hàng gồm \(9\) quyển sách, ta sẽ chia hàng này thành \(4\) đoạn liên tiếp tương ứng với \(4\) ngăn sách.

2. Cố định ngăn số 1

Theo giả thiết, ngăn số \(1\) phải chứa đúng \(2\) quyển sách.

Do các ngăn đã được đánh số nên ta quy ước:

• Hai quyển đầu tiên trong hàng thuộc ngăn số \(1\).
• Bảy quyển còn lại sẽ được phân chia cho các ngăn \(2,3,4\).

3. Chia 7 quyển còn lại cho ba ngăn cuối

Ba ngăn \(2,3,4\) đều phải có ít nhất một quyển sách.

Giữa \(7\) quyển sách còn lại có:

$$ 7-1=6 $$

vị trí trống để đặt vách ngăn.

Chọn \(2\) trong \(6\) vị trí này để tạo thành \(3\) nhóm không rỗng tương ứng với các ngăn \(2,3,4\).

$$ \mathrm{C}_6^2 = 15 $$

4. Tính số cách xếp

Theo quy tắc nhân:

$$ T = 9! \cdot \mathrm{C}_6^2 $$

$$ T = 362880 \cdot 15 $$

$$ T = 5\,443\,200 $$

5. Tính giá trị \(\dfrac{T}{600}\)

$$ \frac{T}{600} =\frac{5\,443\,200}{600} =9072 $$

Vậy:

$$ \boxed{\frac{T}{600}=9072} $$

Nhận xét

Mấu chốt của bài toán là xem mỗi cách xếp như một hoán vị của 9 quyển sách, sau đó chèn các vách ngăn để tạo thành các ngăn sách. Điều kiện ngăn số 1 có đúng 2 quyển giúp cố định vị trí vách ngăn đầu tiên, từ đó bài toán trở thành đếm số cách chọn 2 vách ngăn trong 6 vị trí còn lại.