Bài toán tối ưu hóa lợi nhuận bằng đạo hàm (tìm GTLN trên đoạn) – Đề tốt nghiệp THPT 2026

Giải chi tiết bài toán tối ưu lợi nhuận trong sản xuất nông sản bằng đạo hàm, đề thi tốt nghiệp THPT 2026 mã đề 0103 - câu 5 phần III, đáp số 1990.

Bài toán tối ưu hóa lợi nhuận trong sản xuất nông sản – Đề thi tốt nghiệp THPT 2026

Đề bài

(Câu 5 – Phần III – Mã đề 0103 – Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT 2026, Bộ GD&ĐT)

Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá \(200\) tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến \(x\) tấn nguyên liệu trong một tháng \((1\le x\le 200)\) thì chi phí sản xuất và doanh thu (đơn vị: triệu đồng) lần lượt là:

\[ C(x)=0,001x^3+30x+10 \]

và

\[ R(x)=60x \]

Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Lời giải chi tiết

Bước 1. Thiết lập hàm lợi nhuận

Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí:

\[ P(x)=R(x)-C(x). \]

Suy ra:

\[ P(x) = 60x-(0,001x^3+30x+10) = -0,001x^3+30x-10. \]

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P(x)\) trên đoạn \( [1;200]. \)

Bước 2. Tìm các điểm cực trị

Đạo hàm:

\[ P'(x) = -0,003x^2+30. \]

Giải phương trình:

\[ P'(x)=0 \]

\[ -0,003x^2+30=0. \]

\[ x^2=10000. \]

\[ x=\pm100. \]

Do \(1\le x\le200\), chỉ nhận: \( x=100. \)

Bước 3. So sánh giá trị tại các điểm cần xét

Tính:

\[ P(1) = -0,001+30-10 = 19,999. \]

\[ P(100) = -0,001\cdot100^3+30\cdot100-10 = -1000+3000-10 = 1990. \]

\[ P(200) = -0,001\cdot200^3+30\cdot200-10 = -8000+6000-10 = -2010. \]

So sánh các giá trị trên ta được GTLN của \(P(x)\) trên đoạn \([1;200]\) là:

\[ \max P(x)=1990. \]

Bước 4. Kết luận

Lợi nhuận lớn nhất đạt được khi công ty chế biến:

\[ x=100\text{ tấn nguyên liệu}. \]

Khi đó lợi nhuận lớn nhất là:

\[ \boxed{1990} \ \text{ triệu đồng}. \]

Nhận xét

Đây là bài toán tối ưu hóa ứng dụng đạo hàm. Sau khi xây dựng hàm lợi nhuận \(P(x)=R(x)-C(x)\), bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của một hàm số trên đoạn đóng. Cần xét cả điểm cực trị và hai đầu mút của miền xác định để kết luận chính xác.