Bài toán xác suất trên đa giác đều 12 cạnh: Mỗi hình vuông đều có bóng đèn đỏ

Bài toán xác suất vận dụng tổ hợp và nguyên lý bù trừ trên đa giác đều 12 cạnh, tính xác suất để mọi hình vuông đều chứa bóng đèn đỏ.

Xác suất để mỗi hình vuông đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ

Đề bài toán

[Đề chính thức môn Toán kì thi tốt nghiệp THPT 2026 – Mã đề 0103 - Phần III Câu 1]

Đề gõ lại

Một khung hình trang trí có dạng đa giác đều 12 cạnh \(A_1,A_2,\ldots,A_{12}\).

Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm 4 bóng màu đỏ và 8 bóng màu xanh, các bóng đèn có công suất đôi một khác nhau.

Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn vào 12 đỉnh của đa giác sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn.

Gọi \(P\) là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ.

Tính giá trị của \(3190P\).

Đáp số

\(\boxed{1856}\)

Lời giải chi tiết

1. Xác định các hình vuông

Trong đa giác đều 12 cạnh có 3 hình vuông được tạo bởi các đỉnh cách nhau 3 đơn vị:

$$A_1A_4A_7A_{10},\quad A_2A_5A_8A_{11},\quad A_3A_6A_9A_{12}.$$

Như vậy 12 đỉnh được chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 đỉnh.

2. Đếm tổng số cách chọn vị trí cho 4 bóng đỏ

Ta chỉ cần xét vị trí của 4 bóng đỏ.

$$N=\binom{12}{4}=495.$$

3. Áp dụng nguyên lý bù trừ

Gọi \(E_i\) là biến cố hình vuông thứ \(i\) không có bóng đỏ.

Nếu một hình vuông không có bóng đỏ thì 4 bóng đỏ phải nằm trong 8 đỉnh còn lại:

$$|E_i|=\binom{8}{4}=70.$$

Tổng số trường hợp:

$$\sum |E_i|=3\cdot70=210.$$

Nếu hai hình vuông cùng không có bóng đỏ thì cả 4 bóng đỏ phải nằm trong hình vuông còn lại:

$$|E_i\cap E_j| =\binom{4}{4}=1.$$

Có:

$$\binom{3}{2}=3$$

cặp như vậy.

Số trường hợp thuận lợi:

$$N_t =495-210+3 =288.$$

4. Tính xác suất

$$P=\frac{288}{495} =\frac{32}{55}.$$

5. Kết quả

$$3190P =3190\cdot\frac{32}{55} =\boxed{1856}.$$

Nhận xét

Bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ rất hiệu quả. Thay vì đếm trực tiếp các cách để cả ba hình vuông đều có bóng đỏ, ta đếm phần bù là các trường hợp có ít nhất một hình vuông không chứa bóng đỏ.