Cách tìm phương trình các trục đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến y=(ax+b)/(cx+d) - bậc nhất trên bậc nhất, ví dụ bài tập có lời giải chi tiết.
Trục đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến – Lý thuyết và bài tập minh họa
Đặt vấn đề
Với hàm số nhất biến
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0), \]học sinh thường chú ý nhiều đến tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tâm đối xứng của đồ thị. Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này còn có thêm một tính chất hình học rất đẹp: nó có hai trục đối xứng.
Việc xác định được trục đối xứng không chỉ giúp hiểu sâu hơn bản chất hình học của đồ thị hyperbol, mà còn hỗ trợ học sinh giải nhanh các bài toán nhận biết, dựng hình, viết phương trình và khai thác tính đối xứng trong các câu hỏi nâng cao.
I. Cơ sở lý thuyết trực quan
1. Dạng đồ thị của hàm số nhất biến
Xét hàm số
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0). \]Đồ thị của hàm số là một đường hyperbol gồm hai nhánh tách biệt nhau. Hai nhánh này bị giới hạn bởi hai đường tiệm cận:
- Tiệm cận đứng: \[ x=-\frac{d}{c}. \]
- Tiệm cận ngang: \[ y=\frac{a}{c}. \]
Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]2. Trục đối xứng của đồ thị
Ngoài tâm đối xứng, đồ thị của hàm số nhất biến còn có hai trục đối xứng. Hai trục này là hai đường thẳng:
- đi qua tâm đối xứng \(I\),
- vuông góc với nhau,
- đồng thời là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Nếu tâm đối xứng của đồ thị là \(I(x_0;y_0)\), thì hai trục đối xứng có phương trình:
\[ y-y_0=x-x_0 \]và
\[ y-y_0=-(x-x_0). \]3. Giải thích hình học trực quan
Sau khi tịnh tiến hệ trục tọa độ về tâm đối xứng \(I(x_0;y_0)\), đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) được đưa về dạng hyperbol quen thuộc. Khi đó, hai trục đối xứng của hyperbol chính là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Quay trở lại hệ trục ban đầu, ta suy ra:
- hai trục đối xứng của đồ thị luôn đi qua tâm đối xứng;
- chúng là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận;
- vì thế chúng có phương trình dạng \(y-y_0=x-x_0\) và \(y-y_0=-(x-x_0)\).
II. Quy tắc xác định nhanh trục đối xứng
- Tìm tâm đối xứng \(I(x_0;y_0)\) của đồ thị.
- Viết hai đường thẳng đi qua \(I\) có hệ số góc \(1\) và \(-1\).
- Đó chính là hai trục đối xứng của đồ thị.
III. Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Ví dụ 1. Tìm trục đối xứng từ phương trình hàm số
Tìm các trục đối xứng của đồ thị hàm số:
\[ y=\frac{2x-1}{x+1}. \]Lời giải.
Bước 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị.
Ta có:
\[ x+1=0 \Leftrightarrow x=-1. \]Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới nghiệm của mẫu số \(x=-1\):
\[ \lim_{x\to -1^-}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -1^+}\frac{2x-1}{x+1}=-\infty. \]
Do đó đường thẳng
\[ x=-1 \]là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Mặt khác, vì
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{x+1}=2, \]nên tiệm cận ngang của đồ thị là:
\[ y=2. \]Vậy tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận:
\[ I(-1;2). \]Bước 2. Viết phương trình hai trục đối xứng.
Hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua \(I(-1;2)\) và có hệ số góc lần lượt bằng \(1\) và \(-1\).
Trục thứ nhất:
\[ y-2=x+1 \] \[ \Leftrightarrow y=x+3. \]Trục thứ hai:
\[ y-2=-(x+1) \] \[ \Leftrightarrow y=-x+1. \]Vậy hai trục đối xứng của đồ thị là:
\[ y=x+3 \quad \text{và} \quad y=-x+1. \]Hình vẽ minh hoạ
Ví dụ 2. Tìm trục đối xứng từ tâm đối xứng cho trước
Biết đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) có tâm đối xứng là \(I(2;-1)\). Hãy viết phương trình hai trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải.
Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường thẳng đi qua \(I(2;-1)\) và có hệ số góc lần lượt bằng \(1\) và \(-1\).
Trục thứ nhất:
\[ y+1=x-2 \] \[ \Leftrightarrow y=x-3. \]Trục thứ hai:
\[ y+1=-(x-2) \] \[ \Leftrightarrow y=-x+1. \]Vậy hai trục đối xứng của đồ thị là:
\[ y=x-3 \quad \text{và} \quad y=-x+1. \]Ví dụ 3. Tìm trục đối xứng còn lại khi biết một trục đối xứng
Một đồ thị hàm số nhất biến có một trục đối xứng là đường thẳng
\[ y=x+5 \]và tâm đối xứng là \(I(-2;3)\). Hãy tìm trục đối xứng còn lại của đồ thị.
Lời giải.
Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến vuông góc với nhau và cùng đi qua tâm đối xứng.
Vì một trục có hệ số góc bằng \(1\), nên trục còn lại có hệ số góc bằng \(-1\) và đi qua điểm \(I(-2;3)\).
Do đó phương trình trục còn lại là:
\[ y-3=-(x+2) \] \[ \Leftrightarrow y=-x+1. \]Ví dụ 4. Bài toán tổng quát với các tham số \(a,b,c,d\)
Viết phương trình hai trục đối xứng của đồ thị hàm số
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0). \]Lời giải.
Tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]Do đó hai trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua điểm \(I\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)\) và có hệ số góc lần lượt bằng \(1\) và \(-1\).
Trục thứ nhất:
\[ y-\frac{a}{c}=x+\frac{d}{c} \] \[ \Leftrightarrow y=x+\frac{a+d}{c}. \]Trục thứ hai:
\[ y-\frac{a}{c}=-\left(x+\frac{d}{c}\right) \] \[ \Leftrightarrow y=-x+\frac{a-d}{c}. \]Vậy hai trục đối xứng của đồ thị là:
\[ y=x+\frac{a+d}{c} \]và
\[ y=-x+\frac{a-d}{c}. \]Áp dụng công thức giải nhanh
Suy ra hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là: \[ y=x+\frac{2+1}{1} \Leftrightarrow \boxed{y=x+3}, \]
và
\[ y=-x+\frac{2-1}{1} \Leftrightarrow \boxed{y=-x+1}. \]IV. Kết luận (Công thức giải nhanh)
Đồ thị của hàm số
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0) \]có hai trục đối xứng là các đường thẳng có phương trình:
\[ \boxed{y=x+\frac{a+d}{c}} \]và
\[ \boxed{y=-x+\frac{a-d}{c}}. \]Việc nắm vững công thức này sẽ giúp học sinh giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về trục đối xứng của đồ thị hàm số nhất biến.
