Công thức tính nhanh tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba, hàm phân thức nhất biến và phân thức bậc hai lớp 12 kèm ví dụ có lời giải chi tiết.
Công thức tính nhanh tọa độ tâm đối xứng của đồ thị các hàm số ở chương trình Toán lớp 12
Đặt vấn đề
Trong chương trình Toán 12, nhiều đồ thị hàm số có tâm đối xứng. Nếu nắm được công thức tính nhanh tọa độ tâm đối xứng, học sinh có thể giải rất nhanh các câu hỏi trắc nghiệm về đồ thị mà không cần khảo sát dài dòng.
Bài viết này tổng hợp công thức tính nhanh tâm đối xứng của ba dạng hàm số quen thuộc:
- Hàm số bậc ba \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) \((a\ne 0)\).
- Hàm số phân thức nhất biến \(\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}\) \((c\ne 0,\ ad-bc\ne 0)\).
- Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất \(\displaystyle y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\) \((d\ne 0)\).
Mỗi phần dưới đây đều gồm: công thức tính nhanh, ví dụ minh họa kiểu trắc nghiệm và ghi chú quan trọng khi áp dụng.
I. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba
1. Công thức tính nhanh
Xét hàm số bậc ba
\[ y=ax^3+bx^2+cx+d \qquad (a\ne 0). \]Đồ thị của hàm số bậc ba luôn có một tâm đối xứng. Tâm này chính là điểm uốn của đồ thị.
Tọa độ tâm đối xứng \(I(x_I;y_I)\) được tính nhanh theo công thức:
\[ x_I=-\frac{b}{3a},\qquad y_I=f\left(-\frac{b}{3a}\right). \]Tức là:
\[ I\left(-\frac{b}{3a};\,f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right). \]Với hàm bậc ba, chỉ cần nhìn hệ số \(a,b\) để tính ngay \(\displaystyle x_I=-\frac{b}{3a}\), sau đó thay vào hàm số để tìm \(y_I\).
2. Ví dụ minh hoạ
Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
\[ y=x^3-3x^2+2. \]Lời giải nhanh.
Ta có \(a=1,\ b=-3\).
Hoành độ tâm đối xứng là:
\[ x_I=-\frac{b}{3a}=-\frac{-3}{3\cdot 1}=1. \]Tung độ tâm đối xứng là:
\[ y_I=f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2=0. \]Vậy tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I(1;0). \]3. Ghi chú – nhận xét
- Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba luôn tồn tại và chính là điểm uốn của đồ thị.
- Công thức \(\displaystyle x_I=-\frac{b}{3a}\) rất hay gặp trong các câu trắc nghiệm nhận biết tâm đối xứng.
- Nếu bài toán chỉ hỏi tâm đối xứng thì không cần khảo sát hàm số, chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức trên.
II. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\)
1. Công thức tính nhanh
Xét hàm số
\[ y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad (c\ne 0,\ ad-bc\ne 0). \]Đồ thị của hàm số là một đường hyperbol gồm hai nhánh. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Ta có:
- Tiệm cận đứng: \[ x=-\frac{d}{c}. \]
- Tiệm cận ngang: \[ y=\frac{a}{c}. \]
Do đó, tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]Với hàm số \[ y=\frac{ax+b}{cx+d}, \] chỉ cần nhìn hệ số của mẫu để đọc ngay hoành độ tâm đối xứng \(\displaystyle x_I=-\frac{d}{c}\), và nhìn hệ số của \(x\) ở tử, mẫu để đọc ngay tung độ \(\displaystyle y_I=\frac{a}{c}\).
2. Ví dụ minh hoạ
Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
\[ y=\frac{2x-1}{x+1}. \]Lời giải nhanh.
So sánh với dạng \(\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}\), ta có:
\[ a=2,\qquad c=1,\qquad d=1. \]Theo công thức nhanh, tâm đối xứng là:
\[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right) =I\left(-\frac{1}{1};\frac{2}{1}\right). \]Vậy tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I(-1;2). \]3. Ghi chú – nhận xét
- Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}\) luôn là giao điểm của hai tiệm cận: \[ x=-\frac{d}{c},\qquad y=\frac{a}{c}. \]
- Đây là dạng rất phù hợp để giải nhanh trắc nghiệm vì chỉ cần đọc hệ số là ra kết quả.
- Nếu làm bài tự luận, học sinh nên trình bày bằng cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang rồi kết luận giao điểm là tâm đối xứng.
III. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)
1. Công thức tính nhanh
Xét hàm số
\[ y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\qquad (d\ne 0). \]Đồ thị của hàm số này thường có dạng một hyperbol tịnh tiến. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Ta có:
- Tiệm cận đứng: \[ x=-\frac{e}{d}. \]
- Tiệm cận xiên: \[ y=\frac{a}{d}x+\frac{bd-ae}{d^2}. \]
Do đó, tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường thẳng trên, tức là:
\[ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right). \]Với hàm số \[ y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}, \] chỉ cần nhớ công thức
\[ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right) \]rồi thay hệ số vào là tìm được ngay tâm đối xứng.
2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1
Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
\[ y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}. \]Lời giải nhanh.
So sánh với dạng \(\displaystyle y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\), ta có:
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad d=1,\qquad e=-1. \]Theo công thức tính nhanh, tâm đối xứng là:
\[ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right)\] \[ =I\left(-\frac{-1}{1};\frac{(-2)\cdot 1-2\cdot 1\cdot (-1)}{1^2}\right) \] \[ =I(1;0). \]Vậy tâm đối xứng của đồ thị là:
\[ I(1;0). \]
Ví dụ 2 (tiếp tục)
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số
$$ y=\frac{x^2-x+3}{x+2}. $$So sánh với dạng tổng quát
$$ y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}, $$ta có
$$ a=1,\quad b=-1,\quad d=1,\quad e=2. $$Áp dụng công thức nhanh
$$ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right), $$suy ra
$$ x_I=-\frac{2}{1}=-2, $$ $$ y_I=\frac{(-1)\cdot1-2\cdot1\cdot2}{1^2} =-5. $$Vậy tâm đối xứng của đồ thị là
$$ \boxed{I(-2;\,-5).} $$3. Ghi chú – nhận xét
- Công thức nhanh của dạng này là: \[ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right). \]
- Khi làm trắc nghiệm, đây là cách nhanh nhất để xác định tâm đối xứng.
- Lưu ý rất quan trọng: trước khi áp dụng công thức, cần kiểm tra xem tử số và mẫu số có nhân tử chung hay không. Nếu có thể rút gọn làm mất tiệm cận đứng, thì đồ thị không còn là dạng hyperbol ban đầu, khi đó không áp dụng trực tiếp công thức trên.
IV. Bảng tổng hợp công thức tính nhanh tâm đối xứng
Với ba dạng hàm số thường gặp ở lớp 12, ta có bảng công thức sau:
- Hàm số bậc ba: \[ y=ax^3+bx^2+cx+d \] có tâm đối xứng \[ I\left(-\frac{b}{3a};\,f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right). \]
- Hàm số phân thức nhất biến: \[ y=\frac{ax+b}{cx+d} \] có tâm đối xứng \[ I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right). \]
- Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất: \[ y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e} \] có tâm đối xứng \[ I\left(-\frac{e}{d};\frac{bd-2ae}{d^2}\right). \]
