Lời giải chi tiết bài toán Do Thái về phương trình lượng giác bậc cao, sử dụng đặt t=sinxcosx và đánh giá để tìm nghiệm chính xác, bài toán Do Thái 5.
Giải phương trình lượng giác có lũy thừa bậc 7 và nghịch đảo bậc 3
Đề bài
[Bài toán Do Thái số 5 trong Tuyển tập 21]Giải phương trình
\[ \sin^7x+\frac1{\sin^3x} = \cos^7x+\frac1{\cos^3x}. \]Lời giải
Điều kiện xác định:
\[ \sin x\ne0,\qquad \cos x\ne0. \]Chuyển vế phương trình, ta được
\[ \frac1{\sin^3x}-\frac1{\cos^3x} = \cos^7x-\sin^7x. \]Hay
\[ \frac{\cos^3x-\sin^3x} {\cos^3x\sin^3x} = \cos^7x-\sin^7x. \]Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. \(\cos x-\sin x=0\)
Khi đó
\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]Đây là các nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2. \(\cos x-\sin x\ne0\)
Ta rút gọn được
\[ \frac{\cos^2x+\cos x\sin x+\sin^2x} {\cos^3x\sin^3x} = \sum_{k=0}^{6}\cos^{6-k}x\sin^kx. \]Đặt
\[ t=\sin x\cos x. \]Khi đó
\[ \cos^2x+\sin^2x=1, \] \[ \cos^4x+\sin^4x = (\cos^2x+\sin^2x)^2 -2\sin^2x\cos^2x = 1-2t^2, \] và \[ \cos^6x+\sin^6x = (\cos^2x+\sin^2x) (\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x) = 1-3t^2. \]Suy ra phương trình trở thành
\[ \frac{1+t}{t^3} = 1-3t^2+t(1-2t^2)+t^2+t^3, \] hay \[ 0 = -t^6-2t^5+t^4+t^3-t-1. \]Mặt khác
\[ |t| = \left|\frac{\sin2x}{2}\right| \le\frac12. \]Do đó
\[ \begin{aligned} \left| -t^6-2t^5+t^4+t^3-t \right| &\le \frac1{64} +\frac1{16} +\frac1{16} +\frac18 +\frac12 \\ &=\frac{49}{64}<1. \end{aligned} \]Trong khi đó phương trình tương đương với
\[ -t^6-2t^5+t^4+t^3-t=1, \]điều này là không thể xảy ra vì vế trái có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn \(1\).
Vậy trường hợp này vô nghiệm.
Suy ra nghiệm của phương trình là
\[
\boxed{
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.
}
\]
