Đề thi IMO 2026 - Ngày 1 (15/7) trong kì thi Olympic toán học quốc tế năm 2026, tổ chức tại Thượng Hải, Trung Quốc, gồm 3 bài toán (mỗi bài 7 điểm).
Đề IMO 2026 – Ngày thi thứ nhất (Tiếng Việt)
Kỳ thi: Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 67 (IMO 2026)
Địa điểm: Thượng Hải, Trung Quốc
Ngày thi: Thứ Tư, ngày 15 tháng 7 năm 2026
Thời gian: 4 giờ 30 phút
Ngôn ngữ: Tiếng Việt
Mỗi bài: 7 điểm.
Bài 1
[Tác giả: Giancarlo Kerg, Luxembourg]Có $2026$ số nguyên lớn hơn $1$, không nhất thiết khác nhau, được viết trên bảng. Mỗi bước, Khổng Tử chọn hai số nguyên $m>1$ và $n>1$ ở các vị trí khác nhau trên bảng và thay hai số đó bằng
\[ \gcd(m,n) \quad\text{và}\quad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}. \]Ông cứ thực hiện các bước như vậy chừng nào còn có thể.
(a) Chứng minh rằng, mặc các cách chọn của Khổng Tử, sau một số hữu hạn các bước, trên bảng có đúng một số $M$ lớn hơn $1$.
(b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào các cách chọn của Khổng Tử.
(Chú ý rằng $\gcd(x,y)$ ký hiệu ước số chung lớn nhất của các số nguyên dương $x$ và $y$, và $\operatorname{lcm}(x,y)$ ký hiệu bội số chung nhỏ nhất của $x$ và $y$.)
Bài 2
[Tác giả: Mykhailo Shtandenko, Ukraine]Cho tam giác $ABC$ và gọi $M$ và $N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. Chọn các điểm $K$ và $L$ tương ứng nằm thực sự bên trong các tam giác $BMC$ và $BNC$, sao cho $K$ nằm thực sự bên trong tam giác $ABL$ và $L$ nằm thực sự bên trong tam giác $AKC$. Giả sử
\[ \angle KBA=\angle ACL,\qquad \angle LBK=\angle LNC, \]và
\[ \angle LCK=\angle BMK. \]Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKL$. Chứng minh rằng
\[ OM=ON. \]Bài 3
[Tác giả: Hya Bogdanov and Grigorii Chelnokov, Russia]Cho số nguyên dương $n$. Lưu Bang và Hạng Vũ có một cái gậy có độ dài bằng $1$ và muốn chia nhau nó. Lưu Bang đánh dấu không quá $n$ điểm trên cây gậy, sau đó Hạng Vũ đánh dấu không quá $n$ điểm trên cây gậy. Tất cả các điểm đánh dấu là phân biệt. Tiếp theo, cây gậy được chặt đứt tại các điểm được đánh dấu, tạo thành một số khúc. Sau đó, họ luân phiên lấy, mỗi lần được lấy một khúc tùy ý chưa được lấy của cây gậy, với Lưu Bang là người lấy đầu tiên. Mục tiêu của mỗi người chơi là có tổng độ dài các khúc gậy mà mình lấy được là lớn nhất.
Với mỗi $n$, xác định giá trị $c$ lớn nhất sao cho Lưu Bang có thể đảm bảo lấy được các khúc gậy có tổng độ dài không nhỏ hơn $c$, bất kể cách chơi của Hạng Vũ là thế nào đi chăng nữa.
Nguồn ảnh: Thầy Hồ Sỹ Hùng (Nghệ An)
1. Xem thêm: Đề Ngày 2 IMO 2026
2. Xem danh sách 6 học sinh Việt Nam dự thi IMO 2026 tại Thượng Hải
