Giải bài tập 4.12 (chứng mình hình thang) và 4.13 SGK Toán 11 (xác định giao tuyến hai mặt phẳng) - sách thống nhất toàn quốc, học sinh lớp 11 xem.
Giải bài tập 4.12 SGK Toán 11 (chứng minh hình thang)
Theo định lí đường trung bình trong tam giác \(SAB\), suy ra
\[ MN\parallel AB. \]Mặt khác, tứ giác \(ABCD\) là hình thang nên
\[ AB\parallel CD. \]Do đó
\[ MN\parallel CD. \]Vì tứ giác \(MNCD\) có một cặp cạnh đối song song nên \(MNCD\) là hình thang.
Kết luận:
\[ \boxed{MNCD\ \text{là hình thang}.} \]Giải bài tập 4.13 SGK Toán 11 (xác định giao tuyến hai mặt phẳng)
a)
Hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((SCD)\) cùng chứa một hướng song song với \(AB\) và \(CD\).
Do
\[ AB\parallel CD, \]nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là một đường thẳng đi qua điểm chung \(M\) và song song với \(AB\) (hay song song với \(CD\)).
Qua \(M\) kẻ đường thẳng \(d\parallel CD\). Khi đó
- \(d\subset(SCD)\) vì \(M\in SD\subset(SCD)\);
- \(d\subset(MAB)\) vì \(d\) song song với \(AB\), mà \(AB\subset(MAB)\).
Do đó
\[ \boxed{(MAB)\cap(SCD)=d,\quad d\parallel AB\parallel CD.} \]
b)
Gọi
\[ N=d\cap SC. \]Khi đó \(N\in SC\) và \(MN\subset d\), nên
\[ MN\parallel CD. \]Trong tam giác \(SCD\), điểm \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\). Đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) cắt \(SC\) tại \(N\).
Theo định lí đường trung bình trong tam giác, suy ra \(N\) là trung điểm của \(SC\).
Vậy
\[ \boxed{N\ \text{là trung điểm của}\ SC.} \]
