Giải bài tập 4.4, 4.5 SGK Toán 11 (Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng) thuộc Bài 10 chương IV (HHKG: Quan hệ song song trong không gian).
Giải bài tập 4.4 SGK Toán 11 (xác định giao tuyến của hai mặt phẳng)
Ta có:
- Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((ABM)\).
- Điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(AB\), mà \(AB\subset(ABM)\), nên \(N\in(ABM)\).
Vì mặt phẳng \((ABM)\) chứa hai điểm phân biệt \(M,N\), nên \[ MN\subset(ABM). \] Mặt khác,
- Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\), mà \(SC\subset(SCD)\), nên \(M\in(SCD)\).
- Điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(CD\), mà \(CD\subset(SCD)\), nên \(N\in(SCD)\).
Suy ra \[ MN\subset(SCD). \] Vậy đường thẳng \(MN\) cùng nằm trong hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\), nên \[ \boxed{MN=(ABM)\cap(SCD).} \]
Giải bài tập 4.5 SGK Toán 11 (xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng khác)
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((E,d)\) với các mặt của hình chóp.
Trong mặt phẳng \((SAB)\), gọi \[ R=EP\cap SB. \] Do \[ E\in(E,d),\qquad R\in(E,d), \] nên \[ ER=(E,d)\cap(SAB). \] Tiếp theo, trong mặt phẳng \((SCD)\), gọi \[ T=EQ\cap SD. \] Vì \[ E,T\in(E,d), \] nên \[ ET=(E,d)\cap(SCD). \]Kết luận:
\[ \boxed{(E,d)\cap(SAB)=ER,\quad (E,d)\cap(SCD)=ET.} \]
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((E,d)\) với các mặt còn lại.
Từ các kết quả của câu a và các điểm chung trên các mặt của hình chóp, ta suy ra:- Với mặt phẳng \((SAB)\): \[ (E,d)\cap(SAB)=ER. \] - Với mặt phẳng \((SBC)\):
Hai điểm \(R,M\) cùng thuộc \((E,d)\) và \((SBC)\), nên \[ (E,d)\cap(SBC)=RM. \] - Với mặt phẳng \((SCD)\): \[ (E,d)\cap(SCD)=ET. \] Đồng thời hai điểm \(N,T\) cùng thuộc \((SCD)\), nên giao tuyến trên mặt này là \[ NT. \] - Với mặt phẳng \((SDA)\):
Hai điểm \(E,T\) cùng thuộc \((SDA)\), nên \[ (E,d)\cap(SDA)=ET. \] - Với mặt phẳng đáy \((ABCD)\):
Hai điểm \(M,N\) cùng thuộc đáy và thuộc mặt phẳng \((E,d)\), nên \[ (E,d)\cap(ABCD)=MN. \]
Kết luận:
\[ \boxed{ \begin{aligned} (E,d)\cap(SAB)&=ER,\\ (E,d)\cap(SBC)&=RM,\\ (E,d)\cap(SCD)&=NT,\\ (E,d)\cap(SDA)&=ET,\\ (E,d)\cap(ABCD)&=MN. \end{aligned} } \]
