Lời giải bài tập 5.28, 5.29, 5.30 cuối chương V SGK Toán 11: tính giới hạn hàm số hữu hạn, vô cực, giới hạn 1 bên, chứng minh giới hạn không tồn tại.
Giải bài tập 5.28 SGK Toán 11 (tính giới hạn hàm số)
a) Tính giới hạn
\[ \lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}. \] Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp:\[ \begin{aligned} \lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} &=\lim_{x\to7}\frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}\\ &=\lim_{x\to7}\frac{x+2-9}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}\\ &=\lim_{x\to7}\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}\\ &=\lim_{x\to7}\frac1{\sqrt{x+2}+3}\\ &=\frac16. \end{aligned} \]
Đáp số: \(\boxed{\dfrac16}\).
b) Tính giới hạn
\[ \lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}. \] Phân tích thành nhân tử: \[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\] \[x^2-1=(x-1)(x+1). \] Do đó \[ \begin{aligned} \lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1} &=\lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{x+1}\\ &=\frac{1+1+1}{2} =\frac32. \end{aligned} \]Đáp số: \(\boxed{\dfrac32}\).
c) Tính giới hạn
\[ \lim_{x\to1}\frac{2-x}{(1-x)^2}. \] Khi \(x\to1\) thì \[ 2-x\to1>0,\] \[(1-x)^2\to0^+. \] Vì vậy \[ \lim_{x\to1}\frac{2-x}{(1-x)^2}=+\infty. \]Đáp số: \(\boxed{+\infty}\).
d) Tính giới hạn
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}}. \] Ta có \[ \sqrt{4x^2+1} =|x|\sqrt{4+\frac1{x^2}}. \] Vì \(x\to-\infty\) nên \(|x|=-x\). Do đó \[ \begin{aligned} \lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}} &=\lim_{x\to-\infty} \frac{x\left(1+\dfrac2x\right)} {-x\sqrt{4+\dfrac1{x^2}}}\\ &=-\lim_{x\to-\infty} \frac{1+\dfrac2x}{\sqrt{4+\dfrac1{x^2}}}\\ &=-\frac12. \end{aligned} \]Đáp số: \(\boxed{-\dfrac12}\).
Giải bài tập 5.29 SGK Toán 11 (giới hạn bên trái, bên phải)
a)
Ta có \[ x^2-9=(x-3)(x+3). \] Do đó \[ \begin{aligned} \lim_{x\to3^+}\left|\frac{x^2-9}{x-3}\right| &=\lim_{x\to3^+}|x+3|\\ &=|3+3|=6. \end{aligned} \]Đáp số: \(\boxed{6}\).
b)
Xét \[ \lim_{x\to1^-}\frac{x}{\sqrt{1-x}}. \] Khi \(x\to1^-\) thì \[ x\to1,\qquad \sqrt{1-x}\to0^+. \] Do đó \[ \frac{x}{\sqrt{1-x}} \to\frac{1}{0^+}=+\infty. \]Đáp số: \(\boxed{+\infty}\).
Giải bài tập 5.30 SGK Toán 11 (giới hạn không tồn tại)
Xét giới hạn
\[
\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}.
\]
Ta có
\[
\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}
=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1.
\]
Trong khi đó
\[
\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}
=\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1.
\]
Vì
\[
\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}
\ne
\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x},
\]
nên giới hạn hai phía không tồn tại.
Vậy
\[
\boxed{\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\ \text{không tồn tại}.}
\]
