Lời giải các bài tập 5.31, 5.32 SGK Toán lớp 11 KNTT (thống nhất toàn quốc), thuộc Bài tập cuối chương V (Hàm số liên tục), học sinh lớp 11 tham khảo.
Giải bài tập 5.31 SGK Toán 11 (xét tính liên tục của hàm số)
a) Xét tính liên tục của hàm số
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac1x,&x\ne0,\\ 1,&x=0. \end{cases} \] Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\). Muốn xét tính liên tục tại \(x=0\), ta tính giới hạn hai phía. Ta có \[ \lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty, \] và \[ \lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty. \] Suy ra \[ \lim_{x\to0^-}f(x)\ne \lim_{x\to0^+}f(x), \] nên giới hạn của \(f(x)\) tại \(x=0\) không tồn tại. Do đó hàm số không liên tục tại \(x=0\).Kết luận: Hàm số không liên tục tại \(x=0\).
b) Xét tính liên tục của hàm số
\[ g(x)= \begin{cases} 1+x,&x\lt 1,\\ 2-x,&x\ge1. \end{cases} \] Mỗi biểu thức đều là đa thức nên liên tục trên miền xác định của nó. Chỉ cần xét tại điểm ghép \(x=1\). Ta có \[ \lim_{x\to1^-}g(x) =\lim_{x\to1^-}(1+x)=2, \] và \[ \lim_{x\to1^+}g(x) =\lim_{x\to1^+}(2-x)=1. \] Vì \[ \lim_{x\to1^-}g(x)\ne \lim_{x\to1^+}g(x), \] nên \[ \lim_{x\to1}g(x) \] không tồn tại. Do đó hàm số không liên tục tại \(x=1\).Kết luận: Hàm số không liên tục tại \(x=1\).
Giải bài tập 5.32 SGK Toán 11 (xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định)
Xét hàm số
\[
F(r)=
\begin{cases}
\dfrac{GMr}{R^3},&r\lt R,\\
\dfrac{GM}{r^2},&r\ge R.
\end{cases}
\]
Trong mỗi khoảng
\[
(-\infty;R)
\quad\text{và}\quad
(R;+\infty),
\]
hàm số là hàm hữu tỉ nên liên tục.
Chỉ cần xét tại điểm \(r=R\).
Ta có
\[
F(R)=\frac{GM}{R^2}.
\]
Giới hạn bên trái:
\[
\begin{aligned}
\lim_{r\to R^-}F(r)
&=\lim_{r\to R^-}\frac{GMr}{R^3}\\
&=\frac{GMR}{R^3}\\
&=\frac{GM}{R^2}.
\end{aligned}
\]
Giới hạn bên phải:
\[
\begin{aligned}
\lim_{r\to R^+}F(r)
&=\lim_{r\to R^+}\frac{GM}{r^2}\\
&=\frac{GM}{R^2}.
\end{aligned}
\]
Suy ra
\[
\lim_{r\to R^-}F(r)
=
\lim_{r\to R^+}F(r)
=
F(R).
\]
Vì giới hạn tại \(R\) tồn tại và bằng giá trị của hàm số nên \(F(r)\) liên tục tại \(r=R\).
Kết luận: Hàm số liên tục trên toàn bộ miền xác định.
