Giải bài tập 5.33, 5.34 cuối chương V SGK Toán 11 Tập 1: Tính liên tục của hàm số, điều kiện của a để hàm số liên tục, lời giải chi tiết cho HS 11.
Giải bài tập 5.33 SGK Toán 11 (xét tính liên tục trên khoảng)
a) Xét tính liên tục của hàm số
\[ f(x)=\frac{\cos x}{x^2+5x+6}. \] Ta có \[ x^2+5x+6=(x+2)(x+3). \] Do đó mẫu số bằng \(0\) khi \[ x=-3,\qquad x=-2. \] Suy ra tập xác định là \[ D=\mathbb{R}\setminus\{-3,-2\}. \] Hay \[ D=(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,+\infty). \] Trên mỗi khoảng xác định, tử số \(\cos x\) là hàm lượng giác liên tục, mẫu số là đa thức liên tục và khác \(0\). Vì vậy \(f(x)\) là thương của hai hàm liên tục nên liên tục trên từng khoảng \[ (-\infty,-3),\qquad (-3,-2),\qquad (-2,+\infty). \]Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng \(\boxed{(-\infty,-3),\,(-3,-2),\,(-2,+\infty)}\).
b) Xét tính liên tục của hàm số
\[ g(x)=\frac{x-2}{\sin x}. \] Hàm số xác định khi \[ \sin x\ne0 \Longleftrightarrow x\ne k\pi,\quad k\in\mathbb Z. \] Do đó \[ D=\mathbb R\setminus\{k\pi,\;k\in\mathbb Z\}. \] Hay hàm số xác định trên các khoảng \[ (k\pi,(k+1)\pi),\qquad k\in\mathbb Z. \] Trên mỗi khoảng này, tử số và mẫu số đều liên tục, đồng thời \(\sin x\ne0\). Vì vậy \(g(x)\) là thương của hai hàm liên tục nên liên tục trên mỗi khoảng \[ (k\pi,(k+1)\pi),\qquad k\in\mathbb Z. \]Kết luận: Hàm số liên tục trên mọi khoảng \(\boxed{(k\pi,(k+1)\pi),\ k\in\mathbb Z}\).
Giải bài tập 5.34 SGK Toán 11 (điều kiện để hàm số liên tục)
Xét hàm số
\[
f(x)=
\begin{cases}
x+1,&x\le a,\\
x^2,&x>a.
\end{cases}
\]
Mỗi biểu thức đều là đa thức nên liên tục trên miền xác định của nó.
Do đó chỉ cần xét tính liên tục tại điểm ghép \(x=a\).
Ta có
\[
f(a)=a+1.
\]
Giới hạn bên trái là
\[
\lim_{x\to a^-}f(x)
=\lim_{x\to a^-}(x+1)
=a+1.
\]
Giới hạn bên phải là
\[
\lim_{x\to a^+}f(x)
=\lim_{x\to a^+}x^2
=a^2.
\]
Để hàm số liên tục tại \(x=a\), cần và đủ
\[
\lim_{x\to a^-}f(x)
=
\lim_{x\to a^+}f(x)
=
f(a).
\]
Suy ra
\[
a^2=a+1.
\]
Giải phương trình
\[
a^2-a-1=0,
\]
ta được
\[
a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.
\]
Kết luận: Hàm số liên tục tại \(x=a\) khi và chỉ khi \(\boxed{a=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}}\).
