Giải bài tập 2.32 SGK Toán lớp 11 - ôn tập cuối chương II về cấp số nhân - tính tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh, kèm lời giải chi tiết.
Giải bài tập 2.32 SGK Toán 11
Lời giải
Gọi \(S_n\) là tổng diện tích các hình vuông được tô ở bước thứ \(n\).
Ta có \[ S_1=\frac19. \]
Bước \(2\) nhiều hơn bước \(1\) là \(8\) hình vuông, mỗi hình có diện tích \[ \frac19\cdot\frac19=\frac1{9^2}. \]
Suy ra \[ S_2=S_1+8\cdot\frac1{9^2}. \]
Bước \(3\) nhiều hơn bước \(2\) là \[ 8\cdot8=8^2 \] hình vuông, mỗi hình có diện tích \[ \frac1{9^2}\cdot\frac19=\frac1{9^3}. \]
Suy ra \[ S_3=S_2+8^2\cdot\frac1{9^3}. \]
Bước \(4\) nhiều hơn bước \(3\) là \[ 8^2\cdot8=8^3 \] hình vuông, mỗi hình có diện tích \[ \frac1{9^3}\cdot\frac19=\frac1{9^4}. \]
Suy ra \[ S_4=S_3+8^3\cdot\frac1{9^4}. \]
Bước \(5\) nhiều hơn bước \(4\) là \[ 8^3\cdot8=8^4 \] hình vuông, mỗi hình có diện tích \[ \frac1{9^4}\cdot\frac19=\frac1{9^5}. \]
Suy ra \[ S_5=S_4+8^4\cdot\frac1{9^5}. \]
Vậy sau \(5\) bước thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là
\[ S_5 =\frac19+\frac8{9^2}+\frac{8^2}{9^3}+\frac{8^3}{9^4}+\frac{8^4}{9^5} \approx0,445 \] (đơn vị diện tích).
Chú ý
Tổng quát, nếu quá trình lặp lại \(n\) lần thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là
\[ S_n =\frac19+\frac8{9^2}+\frac{8^2}{9^3}+\cdots+\frac{8^{\,n-1}}{9^n}. \]
Đây là tổng của \(n\) số hạng đầu của một cấp số nhân có \[ u_1=\frac19,\qquad q=\frac89. \]
Do đó
\[ S_n =\frac19\cdot \frac{1-\left(\frac89\right)^n}{1-\frac89} =1-\left(\frac89\right)^n. \]
