Tóm tắt lý thuyết trọng tâm: - Hình thang cong & Định nghĩa: Cho hàm số \( f(x) \) liên tục, không âm trên đoạn \( [a;b] \). Miền giới ...
- Hình thang cong & Định nghĩa: Cho hàm số \( f(x) \) liên tục, không âm trên đoạn \( [a;b] \). Miền giới hạn bởi đồ thị \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x=a, x=b \) tạo thành hình thang cong. Tích phân từ \( a \) đến \( b \) chính là hiệu số \( F(b) - F(a) \) với \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \).
- Tính chất cơ bản: Tích phân có tính chất tuyến tính (đưa hệ số ra ngoài, tích phân một tổng/hiệu) và tính chất chèn cận.
- Dạng toán cơ bản: Tính tích phân trực tiếp bằng định nghĩa nguyên hàm và phương pháp giải bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu phân khoảng.
1. Khái niệm và Định nghĩa Tích phân
a) Diện tích hình thang cong
Cho hàm số \( f(x) \) liên tục và không âm trên đoạn \( [a; b] \) (với \( a < b \)). Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành \( Ox \) cùng hai đường thẳng vuông góc \( x = a \) và \( x = b \) được gọi là một hình thang cong.
b) Định nghĩa tích phân
Giả sử \( f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \). Nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm bất kỳ của \( f(x) \) trên đoạn \( [a; b] \), thì hiệu số \( F(b) - F(a) \) được gọi là tích phân từ \( a \) đến \( b \) của hàm số \( f(x) \).
Kí hiệu là: \( \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \).
\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a) \]
- \( \int_{a}^{b} \): Dấu tích phân.
- \( a \): Cận dưới; \( b \): Cận trên.
- \( f(x) \mathrm{d}x \): Biểu thức dưới dấu tích phân; \( f(x) \): Hàm số dưới dấu tích phân.
c) Chú ý và quy ước
- Tích phân hoàn toàn không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d}t = \int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d}u \]
- Quy ước cận:
\[ \int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0; \quad \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = -\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d}x \]
2. Các Tính chất của Tích phân
Giả sử hai hàm số \( f(x) \) và \( g(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \). Khi đó:
- Đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân (với \( k \in \mathbb{R} \)):
\[ \int_{a}^{b} k \cdot f(x) \mathrm{d}x = k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \]
- Tích phân của một tổng:
\[ \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x \]
- Tích phân của một hiệu:
\[ \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x - \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x \]
- Tính chất tách cận (chèn điểm \( c \) thuộc \( (a; b) \)):
\[ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d}x \quad (a < c < b) \]
3. Các Dạng toán Thường gặp
Dạng 1: Tích phân của các hàm số cơ bản và sử dụng tính chất
Phương pháp giải: Để tính tích phân \( I = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \):
- Bước 1: Tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \) (thường chọn hằng số \( C = 0 \)).
- Bước 2: Áp dụng công thức Newton - Leibniz: \( \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a) \).
Dạng 2: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải: Tính tích phân \( I = \int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d}x \)
- Bước 1: Giải phương trình \( f(x) = 0 \) để tìm các nghiệm thuộc đoạn \( [a; b] \). Giả sử các nghiệm đó là \( x_1, x_2, \dots, x_n \) thỏa mãn \( a < x_1 < x_2 < \dots < x_n < b \).
- Bước 2: Tách cận và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài biểu thức tích phân thành phần:
\[ I = \int_{a}^{x_1} |f(x)| \mathrm{d}x + \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| \mathrm{d}x + \dots + \int_{x_n}^{b} |f(x)| \mathrm{d}x \]
\[ \Leftrightarrow I = \left| \int_{a}^{x_1} f(x) \mathrm{d}x \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) \mathrm{d}x \right| + \dots + \left| \int_{x_n}^{b} f(x) \mathrm{d}x \right| \]
- Bước 3: Tính từng tích phân thành phần rồi cộng kết quả thu được.
