Tóm tắt nội dung: Tài liệu biên soạn lại các bài tập Vận dụng - Vận dụng cao chọn lọc từ 2 trang đầu tiên của Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp...
Tóm tắt nội dung: Tài liệu biên soạn lại các bài tập Vận dụng - Vận dụng cao chọn lọc từ 2 trang đầu tiên của Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán năm học 2025 - 2026 (Sở GD&ĐT Hưng Yên, Mã đề 1003). Nội dung bao gồm các chủ đề Hình học không gian, Vectơ, Hàm số, Cực trị, Tiệm cận, Bài toán thực tế và Thống kê ghép nhóm.
Phần I. Trắc nghiệm Vận dụng - Vận dụng cao (Trang 1 - Trang 2)
Câu 1: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\) và \(AD = a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và đường thẳng \(SC\) tạo với đáy một góc \(45^\circ\). Gọi \(\alpha\) là số đo của góc nhị diện \([S, BD, A]\). Giá trị của \(\cos \alpha\) bằng:
A. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\) B. \(\frac{\sqrt{57}}{19}\) C. \(\frac{\sqrt{21}}{7}\) D. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu 2: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Trên hai cạnh \(AD, BC\) lấy lần lượt các điểm \(P, Q\) sao cho \(3\vec{AP} = 2\vec{AD}\) và \(3\vec{BQ} = 2\vec{BC}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{MP} + \frac{1}{2}\vec{MQ}\)
B. \(\vec{MN} = \frac{3}{4}\vec{MP} + \frac{3}{4}\vec{MQ}\)
C. \(\vec{MN} = \frac{3}{2}\vec{MP} + \frac{3}{2}\vec{MQ}\)
D. \(\vec{MN} = \frac{2}{3}\vec{MP} + \frac{2}{3}\vec{MQ}\)
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) tạo với nhau góc \(120^\circ\) thỏa mãn \(|\vec{u}| = 2\) và \(|\vec{v}| = 5\). Độ dài của vectơ \(|\vec{u} + 2\vec{v}|\) bằng:
A. \(84\) B. \(2\sqrt{31}\) C. \(124\) D. \(2\sqrt{21}\)
Câu 4: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số đạo hàm \(y = f'(x)\) là đường cong cho trước. Đặt hàm số hợp \(g(x) = f(f'(x) - 1)\). Phương trình \(g'(x) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?
A. 6 B. 9 C. 5 D. 10
Câu 5: Cho hàm số \(y = \frac{\sqrt{2x+5} + ax + b}{(x+2)^2}\) (với \(a, b\) là tham số). Tìm giá trị hiệu \(a - b\) biết đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận đứng.
A. \(4\) B. \(-4\) C. \(2\) D. \(-2\)
Câu 6: Gọi \(S\) là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - mx + 2025\) đồng biến trên khoảng \((4; +\infty)\). Xác định số phần tử của tập \(S\).
A. 25 B. 4 C. 23 D. 24
Câu 7: Gia tốc chuyển động \(a(t)\) của một vật là một hàm số liên tục có đồ thị diễn tả trong khoảng từ giây thứ 2 đến giây thứ 4. Tại thời điểm nào thì vật đạt vận tốc nhỏ nhất?
A. \(t = 2,5\) B. \(t = 4\) C. \(t = 2\) D. \(t = 3\)
Câu 8 (Ứng dụng thực tế): Một đại lý kinh doanh xe gắn máy nhập vào mỗi chiếc xe với giá 39 triệu đồng. Nếu niêm yết giá bán 45 triệu đồng/chiếc thì mỗi năm tiêu thụ được 600 chiếc. Nhằm gia tăng lợi nhuận, đại lý tính toán rằng cứ giảm giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe tiêu thụ trong năm sẽ tăng thêm 150 chiếc. Hỏi để thu được lợi nhuận cao nhất trong năm, giá bán mỗi chiếc xe phải được thiết lập là bao nhiêu triệu đồng?
A. 43 B. 45 C. 46 D. 44
Câu 9: Cho bảng biến thiên của một hàm số ẩn có cực trị tại \(x = 0\) (giá trị cực đại \(y = 2\)) và \(x = 2\) (giá trị cực tiểu \(y = 6\)), có đường tiệm cận đứng \(x = 1\). Bảng biến thiên đó là của hàm số nào dưới đây?
A. \(y = \frac{x^2 + 4x - 2}{x - 1}\) B. \(y = \frac{x^2 + 2}{x - 1}\)
C. \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1}\) D. \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x + 1}\)
Câu 10: Xác định số điểm cực trị của hàm số \(y = 2\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) - 3\sqrt{3}x\) nằm trong khoảng mở \(\left(0; \frac{3\pi}{2}\right)\).
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
Câu 11: Cho hàm đa thức bậc ba \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (với \(a > 0\)) có đồ thị \((C)\) đi qua ba điểm \(O(0;0)\), \(A(1;1)\), \(B(2;4)\). Biết rằng hàm số \(g(x) = f(x) - x^2\) có giá trị cực đại đạt \(\frac{\sqrt{3}}{18}\). Tìm hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị \((C)\).
A. \(-1\) B. \(\frac{5}{12}\) C. \(\frac{1}{12}\) D. \(\frac{3}{2}\)
Câu 12: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 - 4\).
A. \((-\infty; -2)\) B. \(\mathbb{R}\) C. \((0; +\infty)\) D. \((-2; 0)\)
Câu 13 (Thống kê ghép nhóm): Thống kê về độ tuổi của các thành viên trong một câu lạc bộ thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
- Đoạn \([60; 65)\): 2 thành viên
- Đoạn \([65; 70)\): 7 thành viên
- Đoạn \([70; 75)\): 9 thành viên
- Đoạn \([75; 80)\): 4 thành viên
- Đoạn \([80; 85)\): 2 thành viên
- Đoạn \([85; 90]\): 1 thành viên
Giá trị khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với số nào dưới đây?
A. 7,5 B. 7,25 C. 7,9 D. 9,5
