Chuyên đề Tính Đơn Điệu Của Hàm Số - Toán 12

Tóm tắt trọng tâm kiến thức: Bài viết giúp học sinh nắm vững khái niệm tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số, mối liên ...

Tóm tắt trọng tâm kiến thức: Bài viết giúp học sinh nắm vững khái niệm tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số, mối liên hệ giữa dấu đạo hàm và chiều biến thiên, cùng các phương pháp giải nhanh cho hàm bậc ba và hàm nhất biến.

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản về tính đơn điệu

Xét hàm số \( y = f(x) \) xác định trên tập \( K \) (với \( K \) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng):

• Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên \( K \) nếu: \( \forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \).
• Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên \( K \) nếu: \( \forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \).

Nhận xét về tỉ số biến thiên: Với mọi \( x_1 \neq x_2 \) thuộc \( K \):

• Hàm số đồng biến khi và chỉ khi \( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0 \) (đồ thị có hướng đi lên từ trái sang phải).
• Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi \( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0 \) (đồ thị có hướng đi xuống từ trái sang phải).

2. Dấu của đạo hàm và tính đơn điệu

Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên khoảng \( (a; b) \):

• Nếu \( f'(x) > 0, \forall x \in (a; b) \) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu \( f'(x) < 0, \forall x \in (a; b) \) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
• Nếu \( f'(x) = 0, \forall x \in (a; b) \) thì \( f(x) \) là hàm hằng trên khoảng \( (a; b) \).

Mở rộng điều kiện đủ: Nếu \( f'(x) \ge 0 \) (hoặc \( f'(x) \le 0 \)) với mọi \( x \in K \) và đẳng thức \( f'(x) = 0 \) chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \( K \).

Lưu ý: Khi xét trên đoạn hoặc nửa khoảng, hàm số cần bổ sung thêm điều kiện liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

3. Công thức giải nhanh các dạng hàm số thường gặp

a) Hàm phân thức nhất biến \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \) (với \( c \neq 0 \), \( x \neq -\frac{d}{c} \)):

Đạo hàm: \( y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2} \).

Đặc điểm: Đạo hàm \( y' \) không bao giờ xảy ra dấu bằng (không xảy ra dấu "=").

b) Hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \):

Đạo hàm: \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \).

• Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases} \\ \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c > 0 \end{cases} \end{array} \right. \)
• Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \le 0 \end{cases} \\ \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c < 0 \end{cases} \end{array} \right. \)

Xem và tải file PDF

[Download ##download##]